Question

У прямокутному трикутнику МNK до гіпотенузи МK проведено висоту NF.Площа трикутника MNF дорівнює 2 см^2 , а площа трикутника KNF ─ 32 cм^2 . Знайдіть гіпотенузу трикутника MNK.

Answer 1

Давайте позначимо сторони прямокутного трикутника MNK:

- \( MK \) - гіпотенуза, - \( MN \) і \( NK \) - катети.

Також, \( NF \) - висота, проведена до гіпотенузи \( MK \).

Площа трикутника MNF дорівнює половині добутку довжини висоти \( NF \) на довжину основи \( MK \):

\[ S_{MNF} = \frac{1}{2} \cdot NF \cdot MK \]

Аналогічно, площа трикутника KNF дорівнює половині добутку довжини висоти \( NF \) на довжину основи \( KN \):

\[ S_{KNF} = \frac{1}{2} \cdot NF \cdot KN \]

За умовою маємо:

\[ S_{MNF} = 2 \, \text{см}^2 \]

\[ S_{KNF} = 32 \, \text{см}^2 \]

Підставимо ці значення в рівняння:

\[ \frac{1}{2} \cdot NF \cdot MK = 2 \]

\[ \frac{1}{2} \cdot NF \cdot KN = 32 \]

Тепер врахуємо важливий факт: висота \( NF \) є спільною для обох трикутників. Отже, ми можемо об'єднати обидва рівняння:

\[ \frac{1}{2} \cdot NF \cdot MK + \frac{1}{2} \cdot NF \cdot KN = 2 + 32 \]

Спростимо рівняння:

\[ \frac{1}{2} \cdot NF \cdot (MK + KN) = 34 \]

Тепер ми можемо виразити суму \( MK + KN \):

\[ MK + KN = \frac{2 \cdot 34}{NF} \]

Але ми також можемо виразити суму \( MK + KN \) як гіпотенузу \( MNK \):

\[ MK + KN = MNK \]

Отже, ми отримали:

\[ MNK = \frac{2 \cdot 34}{NF} \]

Тепер нам потрібно знайти значення \( NF \). Ми можемо використовувати відомі властивості прямокутних трикутників.

Розглянемо трикутник \( MKF \). За теоремою Піфагора маємо:

\[ MK^2 = NF^2 + MF^2 \]

Але ми також можемо виразити \( MF \) як різницю \( MN \) і \( NF \):

\[ MK^2 = NF^2 + (MN - NF)^2 \]

Розкриємо квадрат:

\[ MK^2 = NF^2 + MN^2 - 2 \cdot MN \cdot NF + NF^2 \]

Спростимо рівняння:

\[ MK^2 = 2 \cdot NF^2 - 2 \cdot MN \cdot NF + MN^2 \]

Тепер врахуємо, що площа трикутника \( MNF \) дорівнює \( 2 \, \text{см}^2 \):

\[ MK^2 = 2 \cdot NF^2 - 2 \cdot NF \cdot MN + MN^2 \]

Ми знаємо, що \( 2 \cdot NF \cdot MN = 34 \) (з рівняння, яке ми вивели раніше). Підставимо це значення:

\[ MK^2 = 2 \cdot NF^2 - 34 + MN^2 \]

Тепер врахуємо, що площа трикутника \( KNF \) дорівнює \( 32 \, \text{см}^2 \):

\[ MK^2 = 2 \cdot NF^2 - 34 + MN^2 + 32 \]

Спростимо рівняння:

\[ MK^2 = 2 \cdot NF^2 + MN^2 - 2 \]

Остаточно, ми знаємо, що \( MK = \sqrt{MN^2 + KN^2} \). Підставимо це в рівняння:

\[ \sqrt{MN^2 + KN^2} = \sqrt{2 \cdot NF^2 + MN^2 - 2} \]

Квадратичні доданки \( MN^2 \) скоротяться:

\[ KN^2 = 2 \cdot NF^2 - 2 \]

\[ KN^2 + 2 = 2 \cdot NF^2 \]

\[ KN^2 = 2 \cdot NF^2 - 2 \]

Підставимо значення \( KN^2 \) з рівняння, яке ми вивели раніше:

\[ KN^2 = 34 \]

Отже,

\[ 2 \cdot NF^2 - 2 = 34 \]

\[ 2 \cdot NF^2 = 36 \]

\[ NF^2 = 18 \]

\[ NF = \sqrt{18} \]

Тепер ми можемо підставити значення \( NF \) назад у вираз для гіпотенузи \( MNK \):

\[ MNK = \frac{2 \cdot 34}{\sqrt{18}} \]

\[ MNK = \frac{68}{\sqrt{18}} \]

Це може залишитися у такому вигляді або може бути апроксимовано до числового значення.