Question

угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 30 градусов.боковая сторона треугольника равна 2.найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Для нахождения площади равнобедренного треугольника, нам нужно знать длину его основания и высоту, опущенную из вершины на основание.

У вас есть следующие данные: 1. Угол при вершине противолежащей основанию равен 30 градусам. 2. Боковая сторона треугольника равна 2.

Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны. Давайте обозначим длину боковой стороны как \(a\) и половину основания как \(b/2\).

Из условия угла при вершине противолежащей основанию равного 30 градусам, мы знаем, что:

\[\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.\]

Так как противолежащий катет - это половина основания, а прилежащий - это боковая сторона, мы можем записать:

\[\tan(30^\circ) = \frac{b/2}{a}.\]

Решим это уравнение относительно \(b\), так как \(a\) у нас уже известно:

\[b = 2 \cdot a \cdot \tan(30^\circ).\]

Теперь, у нас есть значения для \(a\) и \(b\), и мы можем найти высоту треугольника с использованием теоремы Пифагора:

\[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}.\]

Теперь, когда у нас есть длина основания (\(b\)) и высота (\(h\)), мы можем найти площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h.\]

Подставим значения и решим:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \cdot \tan(30^\circ) \cdot \sqrt{a^2 - \left(\frac{2 \cdot a \cdot \tan(30^\circ)}{2}\right)^2}.\]

Заметим, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

\[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}.\]

\[S = a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{3}}.\]

\[S = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника равна \(\frac{a^2 \sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\). Подставим значение \(a = 2\):

\[S = \frac{(2)^2 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{3}}.\]

\[S = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{3}}.\]

\[S = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя в дроби:

\[S = \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3}.\]

\[S = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{3}.\]

Таким образом, площадь треугольника равна \(\frac{2 \cdot \sqrt{6}}{3}\) квадратных единиц.