Question

9. В треугольник вписана окружность. Прямые, соединяющие центр окружности с вершинами, делят треугольник на части с площадями 120, 104, 112. Найдите радиус вписанной окружности. Применить формулу Герона.

Answer 1

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Для начала, найдем длины сторон треугольника, обозначив их за a, b и c. Пусть O - центр вписанной окружности, а A, B и C - вершины треугольника. Тогда площади треугольников AOB, BOC и COA равны 120, 104 и 112 соответственно. Пусть r - радиус вписанной окружности, тогда высоты этих треугольников равны r. Из свойства вписанной окружности следует, что отрезки AO, BO, CO делятся в точке O в отношении r : (r + x), где x - радиус касательной к окружности, проведенной из вершины треугольника. Тогда можно выразить длины сторон через r и x:

a = AO + CO = r + x + r + x = 2(r + x)

b = BO + CO = r + x + r + x = 2(r + x)

c = AO + BO = r + x + r + x = 2(r + x)

Теперь, используя формулу Герона, можно найти полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2 = (2(r + x) + 2(r + x) + 2(r + x)) / 2 = 3(r + x)

Затем, подставив значения площадей и полупериметра в формулу Герона, получим систему уравнений:

S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)) = sqrt(3(r + x)(r + x)(r + x)(r + x)) = 336

120 = (r * a) / 2 = r * 2(r + x) / 2 = r^2 + rx

104 = (r * b) / 2 = r * 2(r + x) / 2 = r^2 + rx

112 = (r * c) / 2 = r * 2(r + x) / 2 = r^2 + rx

Решая эту систему, получим:

r = 8

x = 6

Ответ: радиус вписанной окружности равен 8 см.