Question

Диагональ равнобедренной трапеции делит ее острые угол пополам Периметр трапеции равен 15 м а большее основание 6 м найдите меньшее основание прапеции

Answer 1

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойство равнобедренной трапеции, которое гласит, что диагональ равнобедренной трапеции делит ее острые углы пополам.

Дано: - Периметр трапеции равен 15 м. - Большее основание равно 6 м.

Мы должны найти меньшее основание трапеции.

Решение:

Пусть меньшее основание трапеции равно x м.

Так как трапеция равнобедренная, то ее диагональ делит острые углы пополам. Поэтому, мы можем использовать теорему о треугольнике, согласно которой сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Так как острые углы трапеции равны, то каждый из них равен 180 градусов, деленное на 2, то есть 90 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения диагонали трапеции.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с катетами x и h и гипотенузой d выполняется следующее равенство:

x^2 + h^2 = d^2

Где h - высота трапеции, а d - диагональ трапеции.

Так как острые углы трапеции равны 90 градусов, то высота трапеции равна половине диагонали.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

x^2 + (d/2)^2 = d^2

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^2 + d^2/4 = d^2

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

4x^2 + d^2 = 4d^2

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

4x^2 - 3d^2 = 0

Теперь мы можем использовать информацию о периметре трапеции.

Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон:

15 = a + b + c + d

Где a и b - основания трапеции, c - боковая сторона трапеции, d - диагональ трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то ее основания равны:

a = b

Также, по свойству равнобедренной трапеции, боковая сторона равна половине разности оснований:

c = (b - a)/2

Теперь мы можем выразить диагональ через основания и боковую сторону:

d = sqrt(a^2 + c^2)

Подставим значения основания и боковой стороны:

d = sqrt(a^2 + ((b - a)/2)^2)

Теперь мы можем подставить это выражение для диагонали в уравнение 4x^2 - 3d^2 = 0:

4x^2 - 3(a^2 + ((b - a)/2)^2) = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение:

4x^2 - 3a^2 - 3((b - a)/2)^2 = 0

Упростим выражение во втором слагаемом:

4x^2 - 3a^2 - 3(b^2 - 2ab + a^2)/4 = 0

Упростим дробь:

4x^2 - 3a^2 - 3b^2/4 + 3ab/2 - 3a^2/4 = 0

Упростим уравнение:

4x^2 - 3a^2 - 3b^2/4 + 3ab/2 - 3a^2/4 = 0

Теперь мы можем использовать информацию о периметре трапеции:

15 = a + b + c + d

Подставим значения боковой стороны и диагонали:

15 = a + b + (b - a)/2 + sqrt(a^2 + ((b - a)/2)^2)

Упростим уравнение:

15 = 2a + 2b - a + sqrt(a^2 + ((b - a)/2)^2)

15 = a + 2b + sqrt(a^2 + ((b - a)/2)^2)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно b:

15 - a - sqrt(a^2 + ((b - a)/2)^2) = 2b

b = (15 - a - sqrt(a^2 + ((b - a)/2)^2))/2

Теперь мы можем подставить значение большего основания a = 6 в это уравнение и решить его:

b = (15 - 6 - sqrt(6^2 + ((b - 6)/2)^2))/2

b = (9 - sqrt(36 + ((b - 6)/2)^2))/2

Упростим уравнение:

2b = 9 - sqrt(36 + ((b - 6)/2)^2)

2b = 9 - sqrt(36 + (b - 6)^2/4)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

4b^2 = (9 - sqrt(36 + (b - 6)^2/4))^2

4b^2 = (9 - sqrt(36 + (b - 6)^2/4))(9 - sqrt(36 + (b - 6)^2/4))

Раскроем скобки:

4b^2 = 81 - 9sqrt(36 + (b - 6)^2/4) - 9sqrt(36 + (b - 6)^2/4) + 36 + (b - 6)^2/4

Упростим уравнение:

**4b^2 = 117 -