Question

В выпуклом многоугольнике имеется четыре угла с градусной мерой 120° каждый, остальные углы острые. Найдите число сторон этого многоугольника.

Answer 1

Давайте обозначим количество сторон выпуклого многоугольника буквой \(n\). Внутри каждого многоугольника существует формула для вычисления суммы всех его углов:

\[ \text{Сумма углов} = (n - 2) \cdot 180^\circ. \]

У нас есть информация о четырех углах с градусной мерой 120° каждый. Поскольку все углы выпуклого многоугольника в сумме равны сумме углов, мы можем записать уравнение:

\[ 4 \cdot 120^\circ + (n - 4) \cdot \text{острые углы} = (n - 2) \cdot 180^\circ. \]

Мы знаем, что острые углы равны 180° минус градусная мера тупых углов. В данном случае, тупые углы - это 120°. Таким образом, острые углы составляют \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

Подставим это значение в уравнение:

\[ 4 \cdot 120^\circ + (n - 4) \cdot 60^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ. \]

Упростим уравнение:

\[ 480^\circ + 60^\circ \cdot (n - 4) = 180^\circ \cdot (n - 2). \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 480^\circ + 60^\circ \cdot n - 240^\circ = 180^\circ \cdot n - 360^\circ. \]

Теперь объединим подобные члены и упростим:

\[ 240^\circ + 60^\circ \cdot n = 180^\circ \cdot n - 360^\circ. \]

\[ 60^\circ \cdot n + 360^\circ = 180^\circ \cdot n. \]

\[ 120^\circ \cdot n = 360^\circ. \]

\[ n = 3. \]

Таким образом, у нас есть треугольник, исходя из предоставленной информации.