Question

В равнобоковой трапеции ABCD проведена высота AH. Точка H делит сторону CD так, что CH в 3 раза больше, чем HD, и образует с боковой стороной AD угол, равный 30 градусов. Найдите длину боковой стороны и меньшее основание AB трапеции, если CD - 20 см

Answer 1

Давайте рассмотрим данную трапецию ABCD.

Пусть \( AB \) - большее основание, \( CD \) - меньшее основание, \( CH \) - часть меньшего основания, и \( HD \) - оставшаяся часть меньшего основания.

Условие гласит, что \( CH = 3 \cdot HD \).

Также известно, что точка \( H \) образует с боковой стороной \( AD \) угол в \( 30^\circ \).

Мы знаем, что сумма углов внутри трапеции равна \( 360^\circ \). Исходя из этого, можем записать:

\[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \]

Так как трапеция ABCD - равнобоковая, то углы \( \angle A \) и \( \angle B \) равны. Аналогично, углы \( \angle C \) и \( \angle D \) также равны.

Таким образом, у нас есть:

\[ 2 \cdot \angle A + 2 \cdot \angle C = 360^\circ \]

\[ \angle A + \angle C = 180^\circ \]

Также у нас есть информация, что \( \angle C = 30^\circ \). Подставим это значение:

\[ \angle A + 30^\circ = 180^\circ \]

\[ \angle A = 150^\circ \]

Теперь у нас есть информация о углах \( \angle A \) и \( \angle C \).

Так как \( CH \) делит меньшее основание \( CD \) в отношении 3:1, то можно записать:

\[ CH = 3x \] \[ HD = x \]

Теперь мы можем использовать тригонометрию. В треугольнике \( AHD \), где \( \angle A = 150^\circ \), можем использовать тангенс угла:

\[ \tan(150^\circ) = \frac{AH}{HD} \]

\[ \tan(150^\circ) = \frac{AH}{x} \]

Тангенс \( 150^\circ \) равен \(-\sqrt{3}\). Подставим это значение:

\[ -\sqrt{3} = \frac{AH}{x} \]

\[ AH = -x\sqrt{3} \]

Теперь у нас есть выражение для высоты \( AH \). Так как \( AH \) - это высота, проведенная из вершины \( A \) трапеции, то она также является высотой для треугольника \( CHD \). Мы можем использовать тот факт, что площадь треугольника можно выразить двумя способами:

\[ S_{CHD} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot HD \]

и

\[ S_{CHD} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CD \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot x = \frac{1}{2} \cdot (-x\sqrt{3}) \cdot 20 \]

Упростим уравнение:

\[ 3x^2 = -10x\sqrt{3} \]

\[ x^2 = -\frac{10}{3}\sqrt{3} \]

\[ x = \sqrt{-\frac{10}{3}\sqrt{3}} \]

Так как \( x \) должен быть положительным, то мы отбрасываем отрицательный знак.

Теперь мы можем найти длину боковой стороны \( AD \):

\[ AD = AH + HD \]

\[ AD = -x\sqrt{3} + x \]

\[ AD = x(1 - \sqrt{3}) \]

Также, длину большего основания \( AB \) можно найти, зная, что \( AB = CD + 2 \cdot AH \):

\[ AB = 20 + 2 \cdot (-x\sqrt{3}) \]

\[ AB = 20 - 2x\sqrt{3} \]

Теперь мы можем подставить значение \( x \) и получить ответ.

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон трапеции следующим образом:

AB = a (меньшее основание), CD = b (большее основание), BC = AD = c (боковые стороны).

Из условия задачи у нас есть несколько важных отношений:

1. \( CH = 3 \cdot HD \) (так как CH в 3 раза больше, чем HD). 2. \( \angle CAD = 30^\circ \).

Используем тригонометрические соотношения для нахождения значений сторон:

1. Рассмотрим треугольник CHD. Так как \( \angle CAD = 30^\circ \), то \( \angle CHD = 30^\circ \). Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение тангенса: \[ \tan(30^\circ) = \frac{HD}{CH} \] \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{HD}{3 \cdot HD} \] \[ 3 = \sqrt{3} \cdot HD \] \[ HD = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

2. Теперь мы можем найти CH: \[ CH = 3 \cdot HD = 3 \cdot \sqrt{3} \]

3. Теперь рассмотрим треугольник ACH. В нем у нас есть две известные стороны (AC и CH), и мы можем использовать тригонометрическое соотношение косинуса: \[ \cos(30^\circ) = \frac{AC}{CH} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c}{3 \cdot \sqrt{3}} \] \[ c = \frac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} \]

Таким образом, боковая сторона трапеции равна \( c = \frac{9}{2} \) см.

4. Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нем у нас есть две известные стороны (AB и BC), и мы можем использовать тригонометрическое соотношение тангенса: \[ \tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC} \] \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\frac{9}{2}} \] \[ a = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, меньшее основание трапеции равно \( a = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) см.