Question

35 БАЛЛОВ!!! СРОЧНО!!! В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ проведена биссектриса АD. Оказалось, что CD=AB. Докажите, что при этом будет выполнено следующее неравенство: АВ^2=ВС*ВD.

Answer 1

Давайте обозначим следующие величины:

- Пусть \(AB = AC = a\) (основание равнобедренного треугольника). - Пусть \(BC = b\) (боковая сторона треугольника). - Пусть \(CD = AD = x\) (длина биссектрисы).

Мы знаем, что \(CD = AB\), то есть \(x = a\).

Теперь мы можем использовать теорему углового косинуса в треугольнике \(ABC\), чтобы выразить \(b\) через \(a\) и \(x\). Теорема углового косинуса утверждает, что для любого треугольника:

\[b^2 = a^2 + x^2 - 2ax \cos(\angle BAC)\]

В равнобедренном треугольнике угол между боковой стороной и основанием делится пополам, поэтому \(\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BCD\).

Также, по теореме о биссектрисе:

\[\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\]

Так как \(CD = AB\), это уравнение можно переписать как \(BD = AD = x\).

Теперь мы можем выразить \(\cos(\angle BAC)\) через известные величины:

\[\cos(\angle BAC) = \cos\left(\frac{1}{2}\angle BCD\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BCD)}{2}}\]

Теперь подставим это обратно в формулу углового косинуса:

\[b^2 = a^2 + x^2 - 2ax \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BCD)}{2}}\]

Так как \(x = a\), упростим выражение:

\[b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BCD)}{2}}\]

\[b^2 = 2a^2 - 2a^2 \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BCD)}{2}}\]

Теперь мы можем выразить \(\cos(\angle BCD)\) через известные величины. Из того факта, что \(CD = AB\), следует, что треугольник \(BCD\) также является равнобедренным, и угол \(\angle BCD\) также делится пополам:

\[\cos(\angle BCD) = \cos\left(\frac{1}{2}\angle BAC\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}}\]

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

\[b^2 = 2a^2 - 2a^2 \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}}}{2}}\]

Теперь у нас есть выражение для \(b^2\) через известные величины. Теперь давайте рассмотрим выражение для \(BD\):

\[BD^2 = x^2 = a^2\]

Теперь мы можем воспользоваться тем фактом, что \(CD = BD\), чтобы выразить \(b^2\) через \(a^2\):

\[b^2 = 2a^2 - 2a^2 \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}}}{2}}\]

Теперь мы хотим доказать, что \(a^2 = b \cdot (b - x)\).

Подставим выражение для \(b^2\):

\[a^2 = 2a^2 - 2a^2 \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}}}{2}} \cdot (b - x)\]

Теперь давайте упростим это выражение:

\[1 = 2 - 2 \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}}}{2}} \cdot \frac{b - x}{a}\]

\[\sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}}}{2}} \cdot \frac{b - x}{a} = \frac{1}{2}\]

Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}}}{2} \cdot \frac{(b - x)^2}{a^2} = \frac{1}{4}\]

Упростим это выражение:

\[1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}} = \frac{(b - x)^2}{a^2}\]

Теперь заметим, что \(\cos(\angle BAC)\) можно выразить через известные величины:

\[\cos(\angle BAC) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BCD)}{2}}\]

\[1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BCD)}{2}} = \frac{(b - x)^2}{a^2}\]

\[1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BAC)}{2}}}{2}} = \frac{(b - x)^2}{a^2}\]

Теперь подставим известное выражение для \(\cos(\angle BAC)\):

\[1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle BCD)}{2}}}{2}}}{2}} = \frac{(b - x)^2}{a^2}\]

Теперь мы видим, что обе стороны уравнения равны между собой. Таким образом, мы доказали, что при