Question

В трапеции с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О, BO:OD=3:2, AC= 25 cm. Найдите OC и AO.

Answer 1

Давайте обозначим точки следующим образом:

- \( A \) и \( B \) - концы одного основания трапеции, - \( C \) и \( D \) - концы другого основания трапеции, - \( O \) - точка пересечения диагоналей.

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

1. \( BO:OD = 3:2 \) - это означает, что отрезок \( BO \) делится точкой \( O \) на две части, причем \( BO \) составляет 3 части, а \( OD \) - 2 части.

2. \( AC = 25 \) см - это длина основания трапеции.

Нам нужно найти длины \( OC \) и \( AO \).

Перед тем, как продолжить, давайте введем обозначения для отрезков диагоналей:

- \( BO = x \), - \( OD = \frac{2}{3}x \).

Теперь мы можем рассмотреть треугольники, образованные диагоналями.

В треугольнике \( AOC \) мы видим, что:

\[ AC = AO + OC \]

Подставляем значение \( AC \):

\[ 25 = AO + OC \]

Теперь рассмотрим треугольник \( BOD \). У нас есть:

\[ BO + OD = BD \]

Подставляем значения \( BO \) и \( OD \):

\[ x + \frac{2}{3}x = BD \]

Находим общий знаменатель и суммируем:

\[ \frac{3x + 2x}{3} = BD \]

\[ \frac{5x}{3} = BD \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( 25 = AO + OC \) 2. \( \frac{5x}{3} = BD \)

Для решения системы уравнений давайте выразим \( x \) из второго уравнения и подставим его в первое.

\[ x = \frac{3}{5} \cdot BD \]

Теперь подставим \( x \) в первое уравнение:

\[ 25 = AO + OC \]

\[ 25 = AO + \frac{3}{5} \cdot BD \]

Теперь мы должны решить эту систему уравнений. Для упрощения давайте представим \( BD \) через \( x \):

\[ BD = \frac{5x}{3} \]

Подставим это в уравнение для \( AO + OC \):

\[ 25 = AO + \frac{3}{5} \cdot \frac{5x}{3} \]

\[ 25 = AO + x \]

Теперь подставим значение \( x \):

\[ 25 = AO + \frac{3}{5} \cdot BD \]

\[ 25 = AO + \frac{3}{5} \cdot \frac{5x}{3} \]

\[ 25 = AO + x \]

Теперь решаем эту систему уравнений. Сначала выразим \( AO \) из уравнения \( 25 = AO + x \):

\[ AO = 25 - x \]

Теперь подставим это значение в уравнение \( 25 = AO + \frac{3}{5} \cdot BD \):

\[ 25 = 25 - x + \frac{3}{5} \cdot BD \]

\[ 0 = -x + \frac{3}{5} \cdot BD \]

\[ x = \frac{3}{5} \cdot BD \]

Теперь мы можем найти \( AO \) и \( OC \):

\[ AO = 25 - x = 25 - \frac{3}{5} \cdot BD \]

\[ OC = x = \frac{3}{5} \cdot BD \]

Таким образом, мы нашли длины \( AO \) и \( OC \) в терминах длины \( BD \).