Question

Найти полную поверхность равностороннего конуса, если его высота равна 3 дм

Answer 1

Для того чтобы найти полную поверхность равностороннего конуса, нужно учесть, что уравнение полной поверхности конуса представляется как сумма площади основания и площади боковой поверхности.

Равносторонний конус — это конус, у которого основание представляет собой равносторонний треугольник. Площадь основания такого конуса можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \]

где \(a\) - длина стороны равностороннего треугольника.

В данном случае, равносторонний треугольник является основанием конуса, и его сторона равна радиусу конуса.

Следовательно, \[ a = r \]

Теперь, площадь основания конуса: \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \]

Боковая поверхность конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Его площадь можно найти по формуле: \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot l \]

где \( P_{\text{осн}} \) - периметр основания, а \( l \) - образующая конуса.

Периметр основания для равностороннего треугольника: \[ P_{\text{осн}} = 3 \cdot a \]

Таким образом, \[ P_{\text{осн}} = 3 \cdot r \]

Образующая конуса \( l \) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \]

где \( h \) - высота конуса.

В данном случае, \[ l = \sqrt{r^2 + 3^2} = \sqrt{r^2 + 9} \]

Теперь, подставим все значения в формулу для боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot r \cdot \sqrt{r^2 + 9} \]

Теперь, полная поверхность конуса равна сумме площади основания и боковой поверхности: \[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]

\[ S_{\text{полн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot r \cdot \sqrt{r^2 + 9} \]

Это и есть формула для полной поверхности равностороннего конуса в зависимости от его радиуса \( r \).