Question

В ромбе одна диагональ равна стороне. Найти углы ромба.

Answer 1

Давайте рассмотрим ромб с одной диагональю, которая равна стороне. Обозначим сторону ромба через \(a\) и длину диагонали через \(d\).

Сначала давайте рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали и половиной стороны ромба. Этот треугольник - это прямоугольный треугольник, так как диагональ делит ромб пополам, и угол между половиной диагонали и половиной стороны ромба будет прямым углом.

Итак, у нас есть треугольник со сторонами \(a/2\) и \(d/2\). С использованием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, мы можем записать:

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = d^2 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \frac{a^2}{4} + \frac{d^2}{4} = d^2 \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ a^2 + d^2 = 4d^2 \]

Теперь выразим \(a\) через \(d\):

\[ a^2 = 3d^2 \]

\[ a = \sqrt{3}d \]

Таким образом, сторона ромба равна \(\sqrt{3}\) раз длине диагонали.

Теперь, чтобы найти углы ромба, давайте рассмотрим треугольник, образованный одной из диагоналей и половиной стороны ромба. У нас есть два таких треугольника, и каждый из них имеет угол в вершине ромба.

Угол между диагональю и половиной стороны ромба можно обозначить как \(\theta\). Тогда у нас есть:

\[ \tan(\theta) = \frac{d/2}{a/2} = \frac{d}{a} \]

Подставим значение \(a = \sqrt{3}d\):

\[ \tan(\theta) = \frac{d}{\sqrt{3}d} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь найдем угол \(\theta\):

\[ \theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

Это значение можно дополнительно упростить. Углы ромба будут равны \(\theta\) и \(\pi - \theta\), так как углы в ромбе дополняют друг друга.