Question

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 18, боковые ребра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Answer 1

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Если стороны основания AB=BC=CD=DE=EF=18, то AO=BO=CO=DO=EO=FO=18. И тогда в прямоугольном треугольнике, например ΔSOD, образованном высотой SO, боковым ребром SD=15 и проекцией бокового ребра на основание DO, катет DO=18 будет больше гипотенузы SD=15. То есть, боковые ребра у пирамиды с такими размерами не сойдутся сверху в вершину S.

В условии задачи ОШИБКА! Такая пирамида не существует.

Тогда рассмотрим решение этой задачи в общем случае. Пусть боковые ребра SA=SB=SC=SD=SE=SF=b, стороны основания AB=BC=CD=DE=EF=AF=a.

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников.

ΔESD - равнобедренный, SE=SD=b, ED=a. Высота равнобедренного треугольника SK также является медианой ⇒ EK=KD=a/2

ΔSKD - прямоугольный, ∠SKD=90°. По теореме Пифагора

SD² = SK² + KD² ⇒ SK² = SD² - KD² = b² - (a/2)²

$\boldsymbol{SK=\sqrt{b^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}}$

$S_{SED}=\dfrac{ED\cdot SK}{2}=\dfrac{a\cdot \sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}}{2}$

Площадь боковой поверхности пирамиды

$\boxed {\boldsymbol {S = 6\cdot S_{SED}=3a\cdot \sqrt{b^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}}}$

===========================================

Допустим, боковое ребро пирамиды b=13, сторона основания a=10

$S = 3a\cdot \sqrt{b^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}} = 3\cdot 10\cdot \sqrt{13^2-\Big(\dfrac{10}{2}\Big)^2} =\\ \\ ~~~~=30\cdot \sqrt{169-25} =30\cdot 12=360$

==============================================

Допустим, боковое ребро пирамиды b=41, сторона основания a=18

$S = 3a\cdot \sqrt{b^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}} = 3\cdot 18\cdot \sqrt{41^2-\Big(\dfrac{18}{2}\Big)^2} =\\ \\ ~~~~=54\cdot \sqrt{1681-81} =54\cdot 40=2160$