Question

В треугольнике АВС угол В равен 120 градусов, а длина стороны АВ на 3*корень из 3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

Answer 1

Чертеж к задаче во вложении.
Согласно условию
$\frac{1}{2}P_{ABC}=AB+3\sqrt3$
Пусть К, Е и М -точки касания окружности сторонами ∆АВС.
∠СВЕ=180°-∠АВС=180°-120°=60° (свойство смежных углов)
Т.к. О-центр окружности, то ВО - биссектриса ∠ЕВС. Значит, ∠СВО=∠ОВЕ=30°.
Обозначим радиус окружности OE=OK=OM=r.
В прямоугольном ∆ОЕВ
$BE=\frac{OE}{tg\angle OBE}=\frac{r}{tg30^o}=\frac{3r}{\sqrt3}=r\sqrt3$
По свойству отрезков касательных ВЕ=ВК и СК=СМ, а также АЕ=АМ.
Отсюда P=АВ+ВС+АС = АВ+ВК+КС+АС=(АВ+ВЕ)+(АС+СМ)=АЕ+АМ=2АЕ. Значит,
$AE=\frac{1}{2}P_{ABC}=AB+3\sqrt3\\ AE=AB+BE=AB+r\sqrt3\\ => AB+3\sqrt3=AB+r\sqrt3\ => r=3.$
Ответ: 3.