Question

В ромбе ABCD AB=5, BD=2√5 на сторонах ab и cd отмечены точки m и к соответственно так, что AM/MB = CK/KD = 1,5. Докажите, что MBKD - прямоугольник и найдите его периметр и площадь.

Answer 1

Ответ:

Pmbkd = 12 ед.

Доказательство в приложении.

Объяснение:

В ромбе все стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Дано, что  AM/MB = CK/KD = 1,5. =>

АМ=1,5·MВ; СК = 1,5·KD.  

АВ = АМ+МВ = 5  => 2,5·MB = 5  =>  MB = 2.

CD = CK+KD = 5  => 2,5·KD = 5  =>  KD = 2.

MB║KD как части противоположных мторон ромба.

Значит MBKD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".

Рассмотрим треугольники МВD и АВО.

МВ/ВО = 2/√5 = 2√5/5  и  ВD/AB = 2√5/5.

Итак, в этих треугольниках  стороны пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны (угол В - общий).

Следовательно, эти треугольники подобны, а так как треугольник АВО прямоугольный, то и треугольник MBD - прямоугольный.

В параллелограмме MBKD угол MDB - прямой (доказано выше), значит четырехугольник MBKD - прямоугольник.

По Пифагору найдем сторону DM:

DM = √(BD² - BM²) = √(20 - 4) = 4 ед.  =>

Периметр  Pmbkd = 2·(2+4) = 12 ед.