Question

1)Вычислить сторону основания призмы, если площадь диагонального сечения равна 30√2 см², а высота равна 6 см. 2) В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро равно 12 см, площадь диагонального сечения 312 см², а площадь основания этого параллелепипеда равна 240 см². Вычислить стороны основания. 3) Вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее высота равна 9 см, а апофема 18 см.

Answer 1

$H=9cm \\ h=18cm \\ S_b=3* \frac{1}{2} ah \\ OD= \sqrt{h^2-H^2}= \sqrt{18^2-9^2}= \sqrt{(18-9)(18+9)} \\ OD= \sqrt{9*27}= \sqrt{9^2*3}=9 \sqrt{3} cm \\ \\ OD= \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2}= \frac{a \sqrt{3} }{6} \\ \frac{a \sqrt{3} }{6}=9 \sqrt{3}\rightarrow a= \frac{6*9 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = 54cm \\ \\ S_b= \frac{3}{2}ah= \frac{3}{2}*54*18= \frac{54^2}{2} =1458cm^2 \\ S_b=1458 cm^2$
$S_{BCD_1A_1}=312cm^2 \\ S_{ABCD}=240 cm^2 \\ AA_1=12cm \\ \\ xy=312 \\ xz=240 \\ 12^2+z^2=y^2 \\ \\ \rightarrow \frac{xy}{xz}= \frac{312}{240}\rightarrow \frac{y}{z}= \frac{13}{10}\rightarrow y= \frac{13}{10}z \\ 144+z^2=( \frac{13}{10}z)^2= \frac{169}{100}z^2 \\ 144= \frac{69}{100}z^2\rightarrow z^2= \frac{14400}{69}=208,69\rightarrow z=14,44cm \\ xz=240\rightarrow x= \frac{240}{z}= \frac{240}{14,44}=16,62cm \\ \underline{x=16,62cm;z=14,44cm}$
$\\ S_d=S_BDD_1=30 \sqrt{2}cm^2 \\ H=AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=6cm \\ BD=z \\ \frac{1}{2}zH=30 \sqrt{2}\rightarrow 3z=30 \sqrt{3} \rightarrow z=10 \sqrt{3} \\ x=y=a\rightarrow z=a \sqrt{2}\rightarrow a \sqrt{2}=10 \sqrt{3} \\ a= \frac{10 \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } = \frac{10 \sqrt{6} }{2}=5 \sqrt{6} \\ \underline{x=y=5 \sqrt{6}cm }$