Question

Докажите, что любую выпуклую фигуру можно заключить внутри центрально-симметричной выпуклой фигуры, площадь которой не более удвоенной площади фигуры.

Answer 1

Под фигурой будем понимать замкнутое множество на плоскости. Фигура F называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две точки F, целиком лежит в F. 

Пусть AB -  диаметр F, т.е. AB - отрезок максимальной длины целиком содержащийся в F. Проведем через его концы перпендикулярные ему прямые. Тогда фигура F целиком лежит между ними (иначе AB не был бы диаметром F). Также проведем две прямые параллельные отрезку AB, так, чтобы F целиком лежала между ними, и будем сближать эти прямые до тех пор, пока они не коснутся F в точках C и D по разные стороны от  AB (или, в крайнем случае, одной из них лежащей на AB). В результате мы получим, что фигура F заключена в прямоугольник, со сторонами а и b  (AB=a) который, очевидно, является выпуклой центральнно-симметричной фигурой. В силу выпуклости F четырехугольник ACBD целиком лежит в F. Его площадь равна AB*h₁/2+AB*h₂/2=AB*(h₁+h₂)/2=ab/2, здесь h₁ и h₂ - расстояния от C и D до AB. Таким образом, S(F)≥S(ACBD)=ab/2, т.е. площадь прямоугольника, в котором содержится F, не превосходит удвоенной площади F.

P.S. Здесь мы неявно пользовались некоторыми фактами:
1) Выпуклая фигура, имеющая площадь - ограниченное множество. Действительно, если фигура имела точки не лежащие на одной прямой и была неограниченным множеством, то она содержала бы треугольник сколь угодно большой площади, т.е. не имела бы конечной площади.
2) В силу п.1) мы всегда можем поместить нашу фигуру между параллельными прямыми и по этой же причине (а также в силу замкнутости F и непрерывности длины) в нашей фигуре существует диаметр - отрезок максимальной длины.