Question

боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны,а их длины равны альфа.найдите косинус угла,образованного плоскостью боковой грани с плоскостью основания.

Answer 1

боковые грани - равнобедренные прямоугольные треугольники. По пифагору основание у этих треугольников равно $\sqrt{\alpha^2 + \alpha^2} = \sqrt{2} \alpha$ а высота к основанию $\alpha / \sqrt{2}$

 

основанием пирамиды служит равносторонний треугольник. Длину стороны мы уже выяснили, это $\sqrt{2} \alpha$. Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике $r = \frac{b}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \alpha}{2\sqrt{3}} = \frac{\alpha}{\sqrt{6}}$

 

косинус искомого угла равен отношению радиуса окружности, вписанной в основание пирамиды к высоте боковой грани $= \frac{\alpha / \sqrt{6}}{\alpha / \sqrt{2}} = 1/\sqrt{3}$