Question

«основание пирамиды-треугольник со сторонами 20, 21 и 29 см. боковые грани образуют с плоскостью основания углы 45. найдите объем пирамиды»

Answer 1

Когда грани имеют равный наклон, равны все треугольники, образованные высотой пирамиды, апофемой и её проекцией на основание - это прямоугольные треугольники с общим катетом и равными острыми углами между апофемой и её проекцией. То есть равны все апофемы и - что важнее - равны все проекции апофем на основание, что означает, что проекция вершины пирамиды на основание равноудалена от сторон основания, и проекции апофем - радиусы вписанной в основание окружности.

В этой задаче - угол между апофемой и радиусом вписанной окружности 45°, поэтому эти треугольники равнобедренные, и проекция любой апофемы на основание равна высоте пирамиды. 

В основании лежит прямоугольный (Пифагоров, 20^2 + 21^2 = 29^2) треугольник, поэтому радиус вписанной окружности равен (20 + 21 - 29)/2 = 6; 

Объем пирамиды (20*21/2)*6/3 = 420