Question

Площадь равностороннего треугольника равна S. Найдите: а) длину вписанной окружности; б) длину дуги,заключенной между двумя соседними точками касания; в) площадь части треугольника,лежащей вне вписанной окружности.

Answer 1

Пусть сторона треугольника - а.

S = a²√3/4

a² = 4S / √3

$a=\frac{2\sqrt{S}}{\sqrt[4]{3}}$

а) Радиус вписанной окружности:

r = a√3 /6

$r=\frac{2\sqrt{3S}}{6\sqrt[4]{3}} =\frac{\sqrt{S}*\sqrt[4]{3}}{3}$

Длина окружности:

C = 2πr

$C = \frac{2\pi\sqrt{S}*\sqrt[4]{3}}{3}$

б) α = 360° : 3 = 120°

Длина дуги:

l = C · α / 360° = C · 120° / 360° = C / 3

$l=\frac{2\pi\sqrt{S}*\sqrt[4]{3}}{9}$

в) Площадь части треугольника, лежащей вне вписанной окружности:

S₁ = S - Sкруга = S - πr²

S₁ = $S-\frac{\pi\*S\sqrt{3}}{9} =\frac{S(9-\pi\sqrt{3})}{9}$