Question

Даю 30 баллов. В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает высоту BH в точке P, при этом BP:PH=17:8. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC, если BC=60.

Answer 1

Диаметр (2R) описанной вокруг треугольника окружности равен частному от деления одной из его сторон на синус противолежащего ей угла. 

                   2R=BC:sinA

АВ -  бисектриса угла ВАС, и, по свойству биссектрисы делит в ∆ АВН сторону  ВН в отношении АВ:АН. Тогда АН:АВ=РН:РВ=8.17

Так как ВН - высота ∆ АВС, ∆ АВН - прямоугольный, и отношение катета АН к гипотенузе АВ - это косинус угла А. 

cosA=8/17

Из тождества sinA=√(1-cos²A) находим синус угла А=15/17

Тогда 2R=60:(15/17)=68, откуда R=34