Question

в треугольнике MNK угол N = 150, MN = 4, NK = 6 . NE - биссектриса треугольника. Найти площадь треугольников MNE и KNE

Answer 1

Биссектриса делит противолежащую сторону пропорционально прилежащим сторонам, т.е. МЕ:ЕК=4:6. Если МЕ=4X, а ЕМ=6X, то площадь треугольника MNE равна 1/2*4X*h, где h-высота треугольников MNE и NEK (она у них общая). Площадь треугольника NEK равна 1/2*6X*h. Сумма площадей этих треугольников рана площади треугольника MNK. Составим уравнение 2Xh+3Xh=1/2*4*6*sin150, 5Xh=6, h=6/5X. Найдем площадь MNE 1/2*4X*6/5X=2,4.  А площадь треугольника NEK рана 1/2*6X*6/5X=3,6

Answer 2

Для начала найдем длину отрезка NE. Так как NE является биссектрисой треугольника MNK, то известно, что длина отрезка NE делит сторону MK пропорционально отношению длин сторон мнк и мкн.

Из условия известно, что MK = 10 (4 + 6). Предположим, что NE = x. Тогда, по теореме биссектрисы, можем записать следующее отношение:

NE/MK = NK/NM = 6/4

Таким образом, имеем:

x/10 = 6/4

Упростим эту пропорцию:

x = 60/4

x = 15

Длина отрезка NE равна 15.

Теперь найдем площади треугольников MNE и KNE.

Площадь треугольника можно вычислить, зная длины двух его сторон и синус угла между ними. Формула для вычисления площади треугольника по длинам сторон и синусу угла:

Площадь = (1/2) * a * b * sin(C)

Где a и b - длины сторон треугольника, C - угол между ними.

Площадь треугольника MNE:

Площадь MNE = (1/2) * MN * NE * sin(N)

Подставим известные значения:

Площадь MNE = (1/2) * 4 * 15 * sin(150°)

Синус угла 150° равен (-1/2) (так как синус обратно пропорционален углу).

Площадь MNE = (1/2) * 4 * 15 * (-1/2) = -30

Площадь треугольника MNE равна -30.

Аналогично вычислим площадь треугольника KNE:

Площадь KNE = (1/2) * NK * NE * sin(N)

Подставим известные значения:

Площадь KNE = (1/2) * 6 * 15 * sin(150°)

Синус угла 150° равен (-1/2).

Площадь KNE = (1/2) * 6 * 15 * (-1/2) = -45

Площадь треугольника KNE равна -45.

Таким образом, площади треугольников MNE и KNE равны -30 и -45 соответственно.