Question

20 балов !!! ( Геометрия ) Через некоторую вершину равнобедренного треугольника провели прямую, которая делит данный треугольник на два неравных равнобедренных треугольника, один из которых подобен данному. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

Answer 1

Признаки подобия треугольников:
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
2. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Из трех признаков подобия только первый напрямую связан с углами треугольника.
Из условия задачи ясно, что прямая должна проходить через одну из вершин треугольника.
Рассмотрим вариант с прохождением этой прямой через вершину, противоположную основанию данного нам равнобедренного треугольника. Разделив этот угол пополам, мы в лучшем случае получим два равных прямоугольных треугольника.Разделив же этот угол на неравные части мы можем получить треугольники, удовлетворяющие нашему условию, только в случае, если угол В исходного треугольника будет тупым. Действительно, тогда имеем:
АВ=ВС. <A=<C= α.
<ABC=<ABM+<MBC= α + β.
<ABM=α
<MBC=<BMC=β.
ΔABC ~ ΔABM.
3α+β=180° (из ΔABC)
α+2β=180° (из ΔМBC). Тогда α=180-2β  и
540-5β =180. Отсюда β =360:5=72°, α=36°
<A=<C=36°, <B=108°.
 
Итак, нам остается рассмотреть вариант прохождения прямой через вершину (любую), прилежащую к основанию нашего равнобедренного треугольника. Причем этот вариант может существовать только при условии, что прямая является биссектрисой этого угла, а угол при вершине равен половине угла при основании. Только тогда мы можем получить два НЕРАВНЫХ равнобедренных треугольника, один из которых подобен данному (смотри рисунок). Тогда мы имеем сумму пяти равных углов, равную 180° (сумма внутренних углов треугольника). Тогда один из пяти углов равен 180:5=36°. Это угол при вершине нашего треугольника. Углы при основании равны 2*36=72°.
Ответ: имеется два варианта решения:
1. <A=<C=36°, <B=108° и
2. <A=<C= 72°, <B=36°.

Answer 2

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Проведем прямую, проходящую через вершину A и делящую треугольник на два неравных равнобедренных треугольника ADE и ADF.

Поскольку треугольник ADE подобен треугольнику ABC, то у них соответствующие углы равны. Обозначим угол BAC как α. Тогда угол DAE также равен α.

Также из равнобедренности треугольника ADF следует, что угол DAF равен углу DFA. Обозначим этот угол как β.

Из суммы углов треугольника ADE получаем, что угол EAD равен (180 - 2α - β)/2 = 90 - α - β/2.

Таким образом, углы треугольника ADE равны α, α и 90 - α - β/2.

Из подобия треугольников ADF и ABC следует, что угол DAF равен α. Из равнобедренности треугольника ADF следует, что угол DFA равен β.

Таким образом, углы треугольника ADF равны α, β и β.

Из равенства сумм углов треугольника получаем, что α + β + β = 180, то есть 2β + α = 180.

Таким образом, углы треугольника ABC равны α, α и 180 - 2α.

Количество решений задачи зависит от значения угла α. Если 0 < α < 90, то треугольник существует и имеет ровно одно решение. Если α = 90, то треугольник вырожденный и имеет бесконечное количество решений. Если α > 90, то треугольник не существует и задача не имеет решений.