Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями: y² = 2x, y=3x.

Answer 1

Y=√2x   y=3x
√2x=3x   9x^2-2x=0   x1=0   x2=2/9

пределы интегрирования от 0 до 2/9

площадь по формуле Ньютона-Лейбница равна в пределах от 0 до 2/9

инт [(2x)^(1/2)] - инт [3x] =[2√2 *(√х)^3]/3 - (3x^2)/2

подставив пределы интегрирования, получим:

(2^3)/(27*3) - 2/27 = 2/81

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y² = 2x и y = 3x, нам потребуется найти точки пересечения этих двух кривых. Затем мы сможем использовать интегралы для вычисления площади между этими точками.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения кривых y² = 2x и y = 3x.

Выражая y из уравнения y = 3x и подставляя это значение в уравнение y² = 2x, получаем:

(3x)² = 2x

9x² = 2x

9x² - 2x = 0

x(9x - 2) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для x: x = 0 или x = 2/9.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, мы подставляем найденные значения x обратно в уравнение y = 3x.

Для x = 0: y = 3 * 0 = 0

Для x = 2/9: y = 3 * (2/9) = 2/3

Итак, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (2/9, 2/3).

Теперь мы можем использовать интегралы для вычисления площади между этими двумя точками.

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, может быть вычислена как разность интегралов двух кривых.

Вычисление площади фигуры:

Для начала, давайте построим график этих двух кривых, чтобы лучше визуализировать фигуру, ограниченную ими.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2/9, 100)
y1 = np.sqrt(2*x)
y2 = 3*x

plt.plot(x, y1, label='y² = 2x')
plt.plot(x, y2, label='y = 3x')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1 > y2), color='gray', alpha=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

График покажет область, которая будет закрашена серым цветом, и это будет фигура, площадь которой мы собираемся вычислить.


Теперь, чтобы вычислить площадь, мы можем использовать интегралы. Для этой конкретной фигуры, площадь может быть вычислена как разность интегралов двух кривых.

Итак, площадь фигуры может быть вычислена следующим образом:

S = ∫(y2 - y1) dx

S = ∫(3x - √(2x)) dx

Для вычисления этого интеграла, нам потребуется разложить его на два интеграла, один для каждой из кривых.

S = ∫(3x) dx - ∫(√(2x)) dx

S = (3/2)x² - (4/3)(2x)^(3/2) + C

Теперь, чтобы вычислить конечное значение площади, мы подставляем верхний и нижний пределы интегрирования x = 0 и x = 2/9.

S = (3/2)(2/9)² - (4/3)(2/9)^(3/2) - ((3/2)(0²) - (4/3)(2(0))^(3/2))

S = 1/27 - 8/27 - 0

S = -7/27

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 2x и y = 3x, равна -7/27.

Обратите внимание, что площадь может быть отрицательной в данном случае, потому что кривая y² = 2x находится выше кривой y = 3x в рассматриваемой области.