Question

Решите, пожалуйста, задачу: В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90, гипотенуза АВ = 16 см, угол ВАС равен 60. Найти катеты АС и ВС, высоту СD, проведённую из вершины прямого угла к гипотенузе.

Answer 1

угол АВС равен 180-90-60=30°

частный случай

АС=АВ/2=16/2=8см

ВС=АС√3=8√3

СD=АС×ВМ/АВ=8×8√3/16=4√3

Answer 2

Дано: - В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов. - Гипотенуза AB = 16 см. - Угол BAC = 60 градусов.

Нам нужно найти катеты AC и BC, высоту CD, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе.

1. Находим катеты AC и BC:

Известно, что угол BAC = 60 градусов. Так как треугольник прямоугольный, то угол BCA = 90 - 60 = 30 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения. В частности, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Таким образом:

\[\tan(30^\circ) = \frac{AC}{BC}\]

Значение \(\tan(30^\circ)\) равно \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (или \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)).

Теперь у нас есть уравнение:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AC}{BC}\]

Мы также знаем, что \(BC = AB = 16\) см. Таким образом,

\[AC = \frac{16}{\sqrt{3}}\]

Мы можем умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя в дроби:

\[AC = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{3}\]

Теперь у нас есть значение для катета AC.

2. Находим катет BC:

Мы уже знаем, что \(BC = AB = 16\) см.

3. Находим высоту CD:

Высота CD проведена из вершины прямого угла к гипотенузе и делит ее на два прямоугольных треугольника. Таким образом, мы можем использовать подобие треугольников.

Внутри треугольника ABC проведем высоту CD. Теперь у нас есть два подобных треугольника: ADC и BDC.

Отношение высоты к гипотенузе в подобных треугольниках равно отношению соответствующих катетов. Таким образом,

\[\frac{CD}{AC} = \frac{BC}{AB}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{CD}{\frac{16 \cdot \sqrt{3}}{3}} = \frac{16}{16}\]

Теперь решим уравнение относительно CD:

\[CD = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3}\]

\[CD = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{9}\]

Таким образом, ответ на задачу:

- Катет AC: \(\frac{16 \cdot \sqrt{3}}{3}\) см, - Катет BC: 16 см, - Высота CD: \(\frac{16 \cdot \sqrt{3}}{9}\) см.