Question

Трапеция вписана в окружность. Ее основания равны 17 см и 11 см, а один из углов равен 45 градусов . Найти площадь трапеции.

Answer 1

Трапеция - р\б, иначе вокруг нее нельзя было бы описать окружность, значит боковые стороны трапеции равны.

Углы при верхнем основании не могут быть 45 градусов, ибо тогда это была бы не трапеция.

Проводим две высоты: нижнее основание делится на три отрезка( 3, 11, 3 ), потому что фигура делится на два равных треугольника (Угол и сторона) и параллелограмм.

Таким образом, чтобы найти высоту, выразим ее через тангенс данного нам угла:  tg(45) = x / 3 ⇒ x = tg(45) * 3 = 3;

Найдя высоту, можем посчитать площадь: (11 + 17) / 2 * 3 = 42 см².

Answer 2

Для нахождения площади трапеции, вписанной в окружность, можно воспользоваться следующим подходом.

1. Обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \), где \( a = 17 \) см и \( b = 11 \) см. 2. Поскольку трапеция вписана в окружность, то угол между ее диагоналями (отличной от прямого угла) будет равен половине угла вписанной дуги, охватывающей этот угол. Так как один из углов трапеции равен 45 градусам, то угол вписанной дуги будет \( 2 \times 45^\circ = 90^\circ \). 3. Теперь мы имеем прямоугольную трапецию с основаниями \( a \) и \( b \), и углом \( 45^\circ \) между основаниями. Это позволяет нам использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты трапеции.

По теореме синусов: \[ \sin(45^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

Гипотенуза тут равна разности оснований трапеции (\( a - b \)), а противолежащий катет - это половина высоты трапеции (\( h/2 \)).

\[ \sin(45^\circ) = \frac{h/2}{a - b} \]

Решив уравнение относительно высоты \( h \), мы сможем найти ее.

4. После нахождения высоты трапеции, площадь можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \times h}{2} \]

Таким образом, выполним вычисления:

\[ \sin(45^\circ) = \frac{h/2}{17 - 11} \]

\[ h = 2 \times (17 - 11) \times \sin(45^\circ) \]

Подставим \( h \) в формулу для площади \( S \):

\[ S = \frac{(17 + 11) \times 2 \times (17 - 11) \times \sin(45^\circ)}{2} \]

\[ S = (28) \times (17 - 11) \times \sin(45^\circ) \]

\[ S = 28 \times 6 \times \sin(45^\circ) \]

\[ S = 168 \times \sin(45^\circ) \]

\[ S \approx 168 \times 0.7071 \] (значение синуса 45 градусов)

\[ S \approx 118.96 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь вписанной трапеции составляет примерно 118.96 квадратных сантиметров.