Question

Точки М(х; -3) и В(2; у) симметричны относительно точки С(3;-2). Найдите х и у.

Answer 1

Надо использовать формулу определения координат средней точки

(хВ + хМ)/2 = хС.

Отсюда хМ = 2хС - хС =2*3 - 2 = 6 - 2 = 4.

Аналогично находим уВ = 2уС - уМ = 2*(-2) - (-3) = -4+3=-1.

Ответ: М(4; -3) и В(2; -1).

Answer 2

Для точек \( M(x, -3) \) и \( B(2, y) \), которые симметричны относительно точки \( C(3, -2) \), можно использовать свойство симметрии.

Симметрия относительно точки означает, что расстояние от точки до центральной точки (в данном случае, до точки \( C \)) одинаково для обеих точек.

Итак, давайте используем это свойство для нахождения \( x \) и \( y \):

1. Расстояние от точки \( M(x, -3) \) до точки \( C(3, -2) \) равно расстоянию от точки \( B(2, y) \) до точки \( C(3, -2) \). Используем формулу расстояния между двумя точками:

\[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Для точки \( M \): \[ \sqrt{(x - 3)^2 + ((-3) - (-2))^2} \]

Для точки \( B \): \[ \sqrt{(2 - 3)^2 + (y - (-2))^2} \]

2. Приравняем эти выражения, так как расстояния равны:

\[ \sqrt{(x - 3)^2 + 1} = \sqrt{1 + (y + 2)^2} \]

3. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ (x - 3)^2 + 1 = 1 + (y + 2)^2 \]

4. Решаем уравнение относительно \( x \) и \( y \):

\[ (x - 3)^2 = (y + 2)^2 \]

Теперь выражение упрощается:

\[ x - 3 = y + 2 \] или \[ x - 3 = -(y + 2) \]

5. Получаем два уравнения:

a) \( x - y = 5 \)

b) \( x + y = 1 \)

6. Теперь можем решить систему уравнений. Сложим уравнения (a) и (b):

\[ (x - y) + (x + y) = 5 + 1 \]

\[ 2x = 6 \]

\[ x = 3 \]

7. Подставим \( x \) в уравнение (a):

\[ 3 - y = 5 \]

\[ y = -2 \]

Таким образом, \( x = 3 \) и \( y = -2 \).