Question

Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием 4 корень из 2 и медианой к боковой стороне ,равной 5

Answer 1

AB=BC ; AC =4√2 ; MB =MC ; AM =5 .
------------------------------------
S=S(ABC) - ?

обозн.   <AMB =α .
Из треугольника  AMB по теореме косинусов:
AB² =  AM² +MB² -2AM*MB*cosα  (  1) ;
аналогично из ΔAMB: 
AC² =AM² +MC² -2AM*MC*cos(180° -α )  ⇔ 
AC² =AM² +MC² +2AM*MC*cosα    (2) ;
складывая   (1) и (2)  получаем :
AB²+.AC² =2AM² + 2MB² ⇔  AB²+.AC² =2AM² + 2(BC/2)²⇒4AM²=2(AB²+.AC²) -BC² ;

AM =(1/2)*√(2(AB²+.AC²) -BC² ) .  Эту известную формулу для вычисления медианы можно было применить сразу .
5 =(1/2) *√(2(AB² +(4√2)²) - AB²)⇔4*25 =AB² +64 ⇒AB =BC=6 .
Зная стороны треугольника можно вычислить ее площадь .
здесь удобно  S = 2S(ABM) =2√7*1*4*2 =4√14  (прим формула Герона).

ответ : 4√14  кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади равнобедренного треугольника с заданными параметрами (основанием и медианой к боковой стороне) мы можем воспользоваться следующим методом.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC - основание, BC - боковая сторона, и M - середина BC, где медиана проведена. Также пусть D - точка пересечения медианы и высоты, опущенной из вершины A.

Известно, что медиана разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Таким образом, BD = CD = BC / 2.

Мы знаем, что длина основания AB = 4√2 и боковая сторона BC = 5.

1. Найдем длину медианы AM. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC: \[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[AC^2 = (4\sqrt{2})^2 + 5^2\] \[AC^2 = 32 + 25\] \[AC^2 = 57\] \[AC = \sqrt{57}\]

Так как медиана разбивает основание пополам, то AM = AC / 2: \[AM = \frac{\sqrt{57}}{2}\]

2. Теперь у нас есть стороны треугольника: AB, BC и AM. Требуется найти высоту AD. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD\]

3. Мы также знаем, что треугольник ADB - прямоугольный треугольник, так как медиана AD - высота, проведенная к гипотенузе BC. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту AD:

\[AD^2 = AM^2 - MD^2\] \[AD^2 = \left(\frac{\sqrt{57}}{2}\right)^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2\] \[AD^2 = \frac{57}{4} - \frac{25}{4}\] \[AD^2 = \frac{32}{4}\] \[AD^2 = 8\] \[AD = \sqrt{8}\]

4. Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\] \[S = 4\sqrt{2}\]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника равна \(4\sqrt{2}\).