Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания вписанной окружности с одним из катетов делит этот катет на отрезки 8 см и 7 см. Найдите диаметр окружности, вписанной около данного прямоугольного треугольника. НУЖНО РЕШЕНИЕ

Answer 1

Ясно, что один из отрезков - тот, который имеет своим концом вершину прямого угла - равен радиусу вписанной окружности. Это сразу понятно, если провести радиусы в точки касания - у вершины прямого угла получится квадрат, образованный двумя радиусами и двумя отрезками катетов. 

Поскольку два угла прямоугольнного треугольника ОСТРЫЕ, то есть из половинки меньше 45 градусов, то отношение радиуса вписанной окружности к отрезку стороны от вершины острого угла до точки касания МЕНЬШЕ, чем 1. Поэтому радиус вписанной окружности равен 7, а один из катетов равен 15. Точки касания делят гипотенузу на отрезки 8 и x, а второй катет - на отрезки 7 и х.

(8 + x)^2 = (7 + x)^2 + 15^2;

x = (15^2 + 7^2 - 8^2)/2 = 105;

поэтому стороны треугольника равны 15, 112, 113.

Само собой, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы 113/2.

 

(интересная Пифагорова тройка 15, 112, 113, - она получается, если взять Пифагорову тройку 5,12,13, и приписать 1 слева :) забавно было бы найти все такие тройки, у которых можно отбросить - или, наоборот, приписать - сколько-то знаков слева, и получится новая тройка. Но эту задачку вряд ли решит школьник, даже если сдаст десять тысяч ЕГЭ. Её и профессор не всякий решит...)

Answer 2

Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где AC - гипотенуза, а BC и AB - катеты. Пусть точка O - центр вписанной окружности, которая касается одного из катетов, скажем, BC, в точке D.

По условию, точка D делит катет BC на два отрезка: BD = 8 см и DC = 7 см.

Так как окружность вписана в треугольник ABC, то точка O - центр окружности, лежит на перпендикуляре, проведенном из точки D к стороне BC. Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону BC в точке E.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то BE = DC = 7 см. Также, так как точка O лежит на перпендикуляре, проведенном из точки D, то DE = BD = 8 см.

Треугольник BDE - прямоугольный, и мы знаем длины двух его катетов: BE = 7 см и DE = 8 см. Используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы треугольника BDE:

BD^2 = BE^2 + DE^2 BD^2 = 7^2 + 8^2 BD^2 = 49 + 64 BD^2 = 113 BD = √113

Таким образом, длина гипотенузы треугольника BDE равна √113 см.

Так как точка O - центр вписанной окружности, то диаметр окружности равен длине гипотенузы треугольника BDE:

Диаметр окружности = √113 см.