Question

В треугольнике АBC медиана AD равна половине стороны BC . Докажите, что треугольник ABC прямоугольный

Answer 1

В равнобедренном треугольнике АВD  (АD=ВD):  
<В=<BAD=(180°-<АDВ):2.
В равнобедренном треугольнике АСD  (АD=DС):
<С=<СAD=(180°-<АDС):2.
<ADC=<B+<BAD (как внешний угол треугольника АВD)=2<B. Тогда
<С=<СAD=(180°-2<B):2. Или
2<C=180°-2<B или 2(<B+<C)=180°.
Тогда <B+<C=90° , а <A=(180°-90°=90°)
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, воспользуемся свойствами медианы и прямоугольного треугольника.

По условию задачи, медиана AD равна половине стороны BC. Для начала, обозначим точку пересечения медиан AD и BC как точку M. Таким образом, AM является медианой треугольника ABC.

Свойство медианы:

Свойство медианы заключается в том, что она делит соответствующую сторону пополам и пересекается с точкой пересечения медиан других двух сторон. В данном случае, медиана AM делит сторону BC пополам и пересекается с точкой D.

Так как медиана AD делит сторону BC пополам, то BD = DC.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, нам необходимо показать, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данном случае, мы можем обратиться к теореме Пифагора для треугольника BDM (прямоугольного треугольника).

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику BDM, мы получаем: BM^2 = BD^2 + DM^2 (1)

Также, у нас есть информация о медиане AM: BM = 2DM (2), где BM - длина отрезка BM, BD - длина отрезка BD, DM - длина отрезка DM.

Подставим (2) в (1): (2DM)^2 = BD^2 + DM^2

Раскроем скобки: 4DM^2 = BD^2 + DM^2

Упростим: 3DM^2 = BD^2

Так как BD = DC, то: 3DM^2 = DC^2

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику ADC: AC^2 = AD^2 + DC^2

Так как медиана AD равна половине стороны BC, то AD = BC/2: AC^2 = (BC/2)^2 + DC^2

Вспомним, что BD = DC: AC^2 = (BC/2)^2 + BD^2

Используя (3DM^2 = DC^2), мы можем заменить DC^2 в уравнении: AC^2 = (BC/2)^2 + 3DM^2

Теперь, у нас есть равенство для длин сторон треугольника. Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, нам необходимо показать, что AC^2 = AB^2 + BC^2.

Доказательство прямоугольности треугольника:

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, мы должны показать, что AC^2 = AB^2 + BC^2.

Вернемся к уравнению: AC^2 = (BC/2)^2 + 3DM^2

У нас есть информация о медиане AM, которая делит сторону BC пополам: BC = 2BM

Заменим BC в уравнении: AC^2 = ((2BM)/2)^2 + 3DM^2

Упростим: AC^2 = BM^2 + 3DM^2

Мы знаем, что BM = 2DM (свойство медианы). Подставим это в уравнение: AC^2 = (2DM)^2 + 3DM^2

Раскроем скобки: AC^2 = 4DM^2 + 3DM^2

Упростим: AC^2 = 7DM^2

Теперь, у нас есть равенство для длин сторон треугольника. Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, нам необходимо показать, что AC^2 = AB^2 + BC^2.

Вспомним, что BM = 2DM, и AC = 2BM (свойство медианы). Заменим это в уравнении: (2BM)^2 = AB^2 + BC^2

Упростим: 4BM^2 = AB^2 + BC^2

Так как BM = 2DM, то: 4DM^2 = AB^2 + BC^2

Мы уже доказали, что 7DM^2 = AC^2, поэтому заменим это в уравнении: 7DM^2 = AB^2 + BC^2

Таким образом, мы получили AC^2 = AB^2 + BC^2, что является условием прямоугольности треугольника.

Итак, мы доказали, что треугольник ABC является прямоугольным, используя свойства медианы и применяя теорему Пифагора.