Question

Найти неизвестный элемент треугольника если a=12 c=15 Бетта=120°

Answer 1

По теореме косинусов
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos (гамма)
15^2 = 12^2 + b^2 - 2*12*b*cos(120) = 12^2 + b^2 - 24b*(-1/2)
225 = 144 + b^2 + 12b
b^2 + 12b - 81 = 0
D/4 = 6^2 + 81 = 36 + 81 = 117 = (3√13)^2
b = -6 + 3√13 = 3√13 - 6 ~ 4,81 
По теореме синусов
a/sin(альфа) = b/sin(бета) = c/sin(гамма)
sin(гамма) = sin(120) = √3/2
c/sin(гамма) = 15 / (√3/2) = 15*2/√3 = 30√3/3 = 10√3
sin(альфа) = a / (c/sin(гамма)) = 12 / (10√3) = 
= 12√3/(10*3) = 2√3/5 ~ 0,6928; 
альфа ~ 43,85 градуса 
sin(бета) = b / (c/sin(гамма)) = (3√13 - 6) / (10√3) = 
= (3√13 - 6)*√3 / (10*3) = (√13 - 2)*√3 / 10 ~ 0,278; 
бета ~ 16,15 градусов

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законами тригонометрии и свойствами треугольников. У нас есть треугольник с известными сторонами \(a = 12\) и \(c = 15\), а также углом \(\beta = 120^\circ\).

1. Найдем третью сторону треугольника \(b\) с использованием закона косинусов:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)\]

Подставим известные значения:

\[b^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ)\]

2. Решим для \(b\):

\[b^2 = 144 + 225 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[b^2 = 369 + 90\]

\[b^2 = 459\]

\[b = \sqrt{459} \approx 21.42\]

Теперь у нас есть значение стороны \(b\).

3. Теперь найдем углы \(\alpha\) и \(\gamma\), используя законы синусов:

\[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

Значение угла \(\alpha\) можно найти:

\[\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b}\]

Подставим известные значения:

\[\sin(\alpha) = \frac{12 \cdot \sin(120^\circ)}{\sqrt{459}}\]

\[\alpha \approx \arcsin\left(\frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{459}}\right)\]

Аналогично можно найти угол \(\gamma\).

4. Найдем требуемый неизвестный элемент. Если это сторона \(a\), то задача решена. Если это угол \(\alpha\), то также задача решена.

Решение этих вычислений может быть выполнено с использованием калькулятора и тригонометрических таблиц или функций научного калькулятора.