Question

Дано: треугольник АВС площадь 75см^{2} , \frac{AB}{BC} =\frac{2}{3}. BD его биссектриса. Найдите площадь треугольника ABD

Answer 1

Свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону в том же отношении, в каком находятся стороны, прилегающие к углу.
AB/BC = AD/DC = 2/3
Очевидно, площади тр-ков ABD и BCD относятся друг к другу точно также.
S(ABD)/S(BCD) = 2/3
То есть S(ABD) = 2 части, S(BCD) = 3 части, а весь S(ABC) = 5 частей
Тогда площадь 1 части 75/5 = 15 см^2.
S(ABD) = 2*15 = 30 см^2.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать два факта о биссектрисе треугольника:

1. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные длинам смежных сторон. В данном случае, мы знаем, что $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$, поэтому можно предположить, что $AB$ делится биссектрисой $BD$ на отрезки длиной $2x$ и $3x$, где $x$ - некоторая положительная величина.

2. Площадь треугольника можно выразить через длины сторон и радиус вписанной окружности. Формула для площади треугольника $S$ равна $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a + b + c}{2}$ - полупериметр треугольника, $a, b, c$ - длины сторон треугольника.

Давайте воспользуемся этими фактами для решения задачи:

1. Пусть длина отрезка $BD$ равна $x$. Тогда длины отрезков $AB$ и $BC$ будут соответственно $2x$ и $3x$.

2. Теперь мы можем выразить длины сторон треугольника $ABD$ через $x$: $AB = 2x$, $BD = x$ и $AD = AB + BD = 2x + x = 3x$.

3. Чтобы найти площадь треугольника $ABD$, нам необходимо знать длины всех его сторон. Мы уже выразили длины сторон через $x$, теперь нам нужно найти $x$.

4. Мы знаем, что площадь треугольника $ABC$ равна $75 \, \text{см}^2$. Мы можем использовать эту информацию, чтобы получить уравнение, связывающее длины $AB$ и $BC$.

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через длины его сторон по формуле Герона: $S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}$, где $p = \frac{AB + BC + AC}{2}$ - полупериметр треугольника.

Подставим известные данные: $S_{ABC} = 75 \, \text{см}^2$, $AB = 2x$, $BC = 3x$ и $AC = 5x$ (так как $AC$ - это противолежащая сторона треугольника $ABD$).

Получим уравнение: $75 = \sqrt{\left(\frac{2x + 3x + 5x}{2}\right)\left(\frac{2x + 3x + 5x}{2} - 2x\right)\left(\frac{2x + 3x + 5x}{2} - 3x\right)\left(\frac{2x + 3x + 5x}{2} - 5x\right)}$

Упростим это уравнение и решим его для $x$.

5. Найдя значение $x$, мы сможем вычислить длины сторон треугольника $ABD$: $AB = 2x$, $BD = x$ и $AD = 3x$.

6. Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABD$ с использованием формулы Герона: $S_{ABD} = \sqrt{p(p - AB)(p - BD)(p - AD)}$, где $p = \frac{AB + BD + AD}{2}$ - полупериметр треугольника.

Давайте выполним эти шаги и найдем площадь треугольника $ABD$.