Question

1) На окружности с центром O и диаметром AB, равным 4, взята точка M, расположенная ближе к точке A, чем к точке B. Через точку M проведена касательная к окружности, а через точки A и B - лучи, перпендикулярные к AB и пересекающие касательную в точках D и C соответственно, уголDCB=60⁰. а) Найдите углы OCB, ADC, ODC. б) Найдите отрезки AD и CB. в) Найдите площадь четырехугольника ABCD. г) Найдите углы четырехугольника MOBC. д) Докажите, что треугольники AOD и COB подобны. е) Докажите, что расстояние от точки O до середины отрезка DC равно 0,5(MD+BC). ж) Выразите OM через OD и OC (над OM, OD и OC стрелочки).

Answer 1

угол ОСВ = 15 градусов, потому что ОС - биссектриса угла МСВ. (биссектриса ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ равноудалена от сторон угла.) угол ADC = 180 - 30 = 150 градусов, угол ОDC = 150/2 = 75 градусов. (ОD тоже биссектриса, угла ADC). Отсюда сразу же следует, что угол DOC прямой - в треугольнике DOC сумма двух других углов равна 75+15=90. Кроме того, ОМ - высота DOC, а высота прямоугольного треугольника делит его на два, подобных ему. Это означает DM/OM = OM/MC, или DM*MC = MO^2 = 4. DC найти тоже легче простого - если провести в DCAB перпендикуляр из D на ВС (пусть это DK, ясно, что DK = AB = 4), то получится прямоугольный треугольник CDK с углом С 30 градусов, то есть DC = 2*DK = 8. Получилось DM*МС = 4; DM + MC = 8; Отсюда (DM + MC)^2 - 4*DM*MC = 48; (DM - MC)^2 = 48; MC - DM = 4*√3 (по условию МС>DM); 2*MC = 8 + 4*√3; MC = 4 + √3; DM = 4 - √3; АD = DM (касательные из одной точки) и аналогично CВ = СМ.
Средняя линяя трапеции ADCB равна (AD + CB)/2 = DC/2 = 4, высота равна АВ = 8 площадь 16.
угол МОВ равен 360 - 2*90 - 30 = 150.
Подобие треугольников DMO и CMO я уже доказал, а треугольник AOD = DMO, и СОВ = MOC (докажите, это вообще элементарно, там есть общие стороны и равные углы).
е) уже доказано (перечитайте:))
и последнее - вектора OD, OM, ОС, и еще нужен DM. DC = OC - OD. Ясно, что длина DM = 4-√3, поэтому вектор DM = DC*(4-√3)/8; ОМ = ОD + DM (вектора!!!) = OD + DC*(4-√3)/8 = OD + (OC - OD)*(4-√3)/8 = OC*(4-√3)/8 +OD**(4+√3)/8

= OC*(4-√3)/8 +OD*(4+√3)/8

Answer 2

Давайте решим задачу по шагам:

1. Нахождение углов OCB, ADC, ODC:

Для начала обратим внимание на треугольник ODC, так как мы знаем, что угол DCB = 60⁰. Так как OD является радиусом окружности, а DC - касательной, угол ODC равен половине угла DCB, то есть 30⁰.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. У нас есть две перпендикулярные прямые: AD и DC. Значит, угол ADC - это прямой угол, то есть 90⁰.

Угол OCB равен разности углов ADC и ODC: OCB = ADC - ODC = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰.

2. Нахождение отрезков AD и CB:

Так как AD и CB - это радиусы окружности, они равны половине диаметра, а диаметр равен 4, то AD = CB = 4 / 2 = 2.

3. Нахождение площади четырехугольника ABCD:

Сначала найдем высоту четырехугольника. Поскольку ABCD - трапеция (AD || BC), высота опускается из точки C перпендикулярно AB. Из прямоугольного треугольника ADC мы знаем, что AD = 2, а угол ADC = 90⁰. Таким образом, высота CD равна 2.

Теперь площадь ABCD можно найти как сумму площадей двух треугольников: S = 0.5 * (AD + BC) * CD = 0.5 * (2 + 2) * 2 = 4.

4. Нахождение углов четырехугольника MOBC:

Так как MO || AD (построены параллельно), то угол MOB = ADC = 90⁰. Угол BOC = OCB = 60⁰. Следовательно, угол MOBC = 180⁰ - MOB - BOC = 180⁰ - 90⁰ - 60⁰ = 30⁰.

5. Доказательство подобия треугольников AOD и COB:

Треугольники подобны, так как углы ODC и OCB равны, а углы AOD и BOC также равны (вертикальные углы).

6. Доказательство равенства расстояния от O до середины DC и 0,5(MD + BC):

Расстояние от O до середины DC равно радиусу окружности, то есть OD. Расстояние от O до середины BC равно радиусу окружности, то есть OC. Таким образом, расстояние от O до середины DC равно расстоянию от O до середины BC.

7. Выражение OM через OD и OC:

В треугольнике OMD, применяя теорему Пифагора, получаем: \(OM^2 = OD^2 - MD^2\).

В треугольнике OBC, также используя теорему Пифагора, получаем: \(OC^2 = OB^2 - BC^2\).

Так как OD = OB (радиусы окружности равны), мы можем сложить эти два уравнения: \(OM^2 + OC^2 = OD^2 - MD^2 + OB^2 - BC^2\).

Учитывая, что MD = BC (середины отрезков), мы можем упростить уравнение: \(OM^2 + OC^2 = OD^2 + OB^2\).

Таким образом, \(OM = \sqrt{OD^2 + OC^2}\).