Question

Найдите площадь ромба с периметром 20 см, если он подобен ромбу с диагоналями 30см и 40 см

Answer 1

Пусть в ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Пусть AC=40, BD=30, тогда AO=20, BO=15. По теореме Пифагора, AB= √20²+15²=25, то есть сторона ромба равна 25. Сторона ромба с периметром 20 равна 5, так как в ромбе 4 одинаковые стороны. Тогда коэффициент подобия равен 5. Отношение площадей фигур равно квадрату коэффициента подобия, что есть площадь исходного ромба в 25 раз меньше площади ромба ABCD. Диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника, то есть достаточно найти площадь любого из них и умножить на 4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами 20 и 15 равна 1/2*20*15=150, тогда площадь ромба ABCD равна 600. Площадь исходного ромба равна 600\25=24.

Answer 2

Для нахождения площади ромба, когда известен его периметр, можно воспользоваться следующей формулой:

\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, \]

где \( d_1 \) и \( d_2 \) - диагонали ромба.

Для ромба, подобного данному с диагоналями 30 см и 40 см, можно использовать коэффициент подобия, который определяется как отношение соответствующих сторон. В данном случае, периметр ромба будет равен \( 20 \) см, а диагонали подобного ромба будут в \( \frac{30}{20} = \frac{3}{2} \) раза меньше, чем соответствующие диагонали данного ромба. Таким образом, длина диагоналей подобного ромба будет \( \frac{3}{2} \cdot 30 \) см и \( \frac{3}{2} \cdot 40 \) см.

Теперь у нас есть данные для вычисления площади. Подставим значения в формулу:

\[ S = \frac{\frac{3}{2} \cdot 30 \cdot \frac{3}{2} \cdot 40}{2} \]

Упростим выражение:

\[ S = \frac{45 \cdot 60}{2} = \frac{2700}{2} = 1350 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь ромба с периметром 20 см, подобного ромбу с диагоналями 30 см и 40 см, равна \( 1350 \, \text{см}^2 \).