Question

В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания. Куб EFKLE_1 F_1 K_1 L_1 расположен с заданной пирамидой по одну сторону от плоскости ABC таким образом, что его вершины E и F являются серединами соответственно ребер AB и BC, а вершина K лежит на ребре CD. Считая AB=a, найдите длину линии пересечения данных пирамиды и куба в том случае, когда ребро MB равно 1/2 AB

Answer 1

Грань EFKL куба представляет собой квадрат, образованный серединами сторон квадрата основания пирамиды. Периметр данного квадрата - одна из составляющих линии пересечения пирамиды и куба. Сторона куба равна половине диагонали основания пирамиды (например как средняя линия тр. АВС) EF = (акор2)/2. P(EFKL) = 4*EF = 2акор2.

Еще линия пересечения будет содержать два отрезка по граням АМВ и ВМС пирамиды, так как они перпендикулярны основанию. Каждый из этих отрезков равен половине МВ, как средняя линия соответствующего пр. тр-ка (АМВ или ВМС): МВ/2 = а/4

Итак, выражение для линии пересечения:

L = P(EFKL) + 2*MB/2 = 2акор2 + а/2 = а(4кор2  + 1)/2

Answer 2

Поскольку ребро MB перпендикулярно плоскости основания пирамиды MABCD, то оно является высотой пирамиды. Обозначим его длину как h.

Также известно, что вершина K куба EFKLE_1 находится на ребре CD пирамиды MABCD. Обозначим длину ребра CD как x.

Из условия задачи известно, что вершины E и F куба EFKLE_1 являются серединами соответствующих ребер AB и BC пирамиды MABCD. Таким образом, длины ребер AB и BC равны a, а длина ребра EF куба равна a/2.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через ребро CD пирамиды MABCD и ребро EF куба. Поскольку ребро EF куба является серединой ребра BC пирамиды MABCD, то эта плоскость будет пересекать пирамиду по ребру BC и плоскость ABC.

Таким образом, линия пересечения пирамиды и куба будет состоять из ребра BC пирамиды MABCD и ребра EF куба.

Длина ребра BC пирамиды равна a, а длина ребра EF куба равна a/2. Следовательно, длина линии пересечения пирамиды и куба будет равна a + a/2 = 3a/2.

Так как из условия задачи известно, что ребро MB равно 1/2 AB, то MB = a/2.

Таким образом, длина линии пересечения пирамиды и куба будет равна 3a/2, где a - длина ребра AB пирамиды MABCD.