Question

В прямоугольном треугольнике ABC,биссектриса AD делит кате BC на отрезки CD=4 см и DB=5 см.Найдите площадь треугольника.

Answer 1

∆АВС ;<АСВ=90°;АД биссектриса .;
ДС=4см;ДВ=5см;
S(ABC)=?
по свойству биссектрисы
АС/АВ=СД/ДВ=4/5
АС=4/5АВ
ВС=СД+ДВ=4+5=9
∆АВС по теорема Пифагора
АВ^2=АС^2+СВ^2
АВ^2=(16/25)*АВ^2+81
81=(1-16/25)*АВ^2
81=(9/25)*АВ^2
АВ^2=81:(9/25)=81*(25/9)=9*25
АВ=15
АС=4/5*(АВ)=4/5*15=12
S(ABC)=AC*CB/2=12*9/2=54(см квадрат)

Answer 2

1) ВС=СД+ДВ=4 см+5 см=9 см, тогда по свойству биссектрисы, АС:АВ=СД:ВД
АС:АВ=4 см:5 см
АС:АВ=4:5, значит, пусть к см - коэффициент пропорциональности, поэтому длина АС - 4к см, а длина АВ - 5к см, и рассмотрим треугольник АСВ (угол С=90°):
АВ^2=АС^2+ВС^2
25к^2=16к^2+81
9к^2=81
к^2=9
к=3 Итак, 1 ч.=3 см
2) АС=4к=4*3 см=12 см
S∆ACB=AC*BC/2=12 см*9 см/2=6 см*9 см=54 см^2
Ответ: 54 см^2

Answer 3

Для решения данной задачи воспользуемся свойством биссектрисы в прямоугольном треугольнике.

Согласно данному свойству, биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Пусть катеты треугольника ABC равны BC = a и AC = b. Тогда, согласно свойству биссектрисы, отрезок BD можно представить в виде BD = (a * CD) / (CD + DB) и отрезок CD = (b * DB) / (CD + DB).

Из условия задачи известно, что CD = 4 см и DB = 5 см. Подставим эти значения в формулу и получим:

BD = (a * 4) / (4 + 5) = (4a) / 9 CD = (b * 5) / (4 + 5) = (5b) / 9

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что он прямоугольный, поэтому можем применить формулу для площади прямоугольного треугольника: S = (AB * BD) / 2.

AB - это гипотенуза треугольника ABC, которая равна √(a^2 + b^2).

Подставим значения BD и AB в формулу для площади и получим:

S = (AB * BD) / 2 = (√(a^2 + b^2) * (4a) / 9) / 2 = (2a * √(a^2 + b^2)) / 9

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет (2a * √(a^2 + b^2)) / 9.