Question

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см а биссектриса проведённая к основанию 12 см. Найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник и радиус окружности описанной около этого треугольника.

Answer 1

треугольник АВС, АВ=ВС=13, ВН-биссектриса=высота=медиана=12, АН=НС=1/2АС, треугольник АВН прямоугольный, АН=корень(АВ в квадрате-ВН в квадрате)=корень(169-144)=5, АС=2*АН=2*5=10, площадь АВС=1/2АС*ВН=1/2*10*12=60, полупериметрАВС=(АВ+ВС+АС)/2=(13+13+10)/2=18, радиус вписанной=площадь/полупериметр=60/18=3 и 1/3, радиус описанной=(АВ*ВС*АС)/(4*площадьАВС)=(13*13*10)/(4*60)=7 и 1/24

Answer 2

Для решения этой задачи используем свойства равнобедренного треугольника и теоремы о вписанной и описанной окружности.

Обозначим равные стороны равнобедренного треугольника как \(a\), боковую сторону как \(b\), биссектрису как \(l\), радиус вписанной окружности как \(r\), а радиус описанной окружности как \(R\).

1. Найдем высоту треугольника: В равнобедренном треугольнике биссектриса делит основание на две равные части. Таким образом, половина основания равна \(b/2 = 6\) см.

Теперь, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному половиной основания, биссектрисой и высотой, получаем: \[l^2 = a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\] \[l^2 = a^2 - 6^2\]

2. Найдем боковую сторону \(a\): Используем тот факт, что биссектриса делит угол при вершине треугольника на два равных угла. Таким образом, мы можем использовать тангенс половины угла для нахождения \(a\): \[\tan\left(\frac{\angle A}{2}\right) = \frac{b/2}{l}\] \[\tan\left(\frac{\angle A}{2}\right) = \frac{6}{\sqrt{a^2 - 36}}\]

3. Найдем радиус вписанной окружности \(r\): Известно, что площадь равнобедренного треугольника можно выразить двумя способами: \[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = r \cdot p,\] где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(h\) - высота.

Таким образом, \[\frac{1}{2} \cdot b \cdot h = r \cdot \frac{a + b + l}{2}\] Подставим известные значения: \[\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h = r \cdot \frac{a + 13 + \sqrt{a^2 - 36}}{2}\]

Также, используя формулу для площади треугольника через биссектрису: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l\]

Подставим известные значения: \[\frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2 - 36} = r \cdot \frac{a + 13 + \sqrt{a^2 - 36}}{2}\]

Это уравнение позволит нам найти \(r\).

4. Найдем радиус описанной окружности \(R\): Используем формулу для радиуса описанной окружности в треугольнике: \[R = \frac{abc}{4S}\]

Подставим известные значения: \[R = \frac{a \cdot b \cdot \sqrt{a^2 - 36}}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2 - 36}}\]

Упростим и найдем \(R\).

Решив эти уравнения, вы сможете найти радиус вписанной и описанной окружностей для данного равнобедренного треугольника.