Question

Вершина А треугольника АВС является основанием перпендикуляра AD к плоскости треугольника. Докажите, что если равны углы BDA и CDA, то равны и углы DBC и DCB

Answer 1

Сумма углов в треугольнике =180=> (180-90):2=45 -угол ВAD и угол ABD, в треугольнике АDC точно так же)

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством перпендикуляра, а также свойством углов при основании равнобедренной трапеции.

Свойство перпендикуляра:

Если прямая AD перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку A.

Свойство углов при основании равнобедренной трапеции:

Если в трапеции ABCD боковая сторона AD равна боковой стороне BC и углы BDA и CDA равны, то углы BDC и CBD также равны.

Доказательство:

1. Пусть углы BDA и CDA равны. 2. Так как AD перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку A. В частности, она перпендикулярна прямой BD. 3. Рассмотрим трапецию BADC, где AD и BC являются боковыми сторонами, а BD - основанием. 4. Из свойства углов при основании равнобедренной трапеции следует, что углы BDC и CBD равны. 5. Таким образом, мы доказали, что если углы BDA и CDA равны, то углы BDC и CBD также равны.

Это доказывает, что если углы BDA и CDA равны, то равны и углы DBC и DCB.