Question

Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Через вершину малейшего угла проведен перпендикуляр к плоскости треугольника, а с его конца, не принадлежит треугольнику, опущен перпендикуляр длиной 24 см на противоположную этом углу сторону. Найдите длину перпендикуляра, проведенного к плоскости треугольника.

Answer 1

Пусть дан ΔАВС, АВ=13, ВС=20, АС=11.
В треугольнике меньший угол лежит против меньшей стороны.
Значит, данный перпендикуляр к влоскости Δ - это КВ.
Перпендикуляр из точки К на сторону АС - это КН=24. Он является наклонной к перпендикуляру КВ. Тогда ВН - проекция КН на плоскость ΔАВС. По теореме о трёх перпендикулярах ВН⊥АС.
Значит, ВН - высота ΔАВС.
По формуле Герона:
$S_{\Delta}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ,\ p= \frac{a+b+c}{2}$
$p= \frac{11+13+20}{2}=22$
$S_{\Delta}= \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)} = \sqrt{22^2*9}=22*3=66(_{CM^2})$
C др. стороны $S_{\Delta}= \frac{1}{2} AC*BH\ \Rightarrow\ BH= \frac{2S}{AC}= \frac{2*66}{11} =12$
Из прямоугольного ΔКВН по теореме Пифагора КВ²=КН²-ВН²
$KB= \sqrt{24^2-12^2}= \sqrt{12^2(2^2-1)} =12 \sqrt{3}$
Ответ: $12 \sqrt{3}$ см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тем, что треугольник с заданными сторонами \(a\), \(b\), и \(c\) является треугольником, и мы можем использовать законы косинусов и синусов.

Обозначим стороны треугольника как \(a = 11\,см\), \(b = 13\,см\), и \(c = 20\,см\). Пусть \(h\) - длина перпендикуляра, опущенного из вершины малейшего угла к плоскости треугольника, и \(d = 24\,см\) - длина перпендикуляра, опущенного на противоположную сторону.

Итак, у нас есть:

\[ h + d = c \]

Теперь, используем закон косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \]

где \(\gamma\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

Обозначим этот угол через \(\alpha\), тогда:

\[ \cos(\alpha) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

Теперь, используем закон синусов для треугольника с вершиной в малейшем углу:

\[ \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(90 - \alpha)} \]

Используем тригонометрический тождественный закон \(\sin(90 - \alpha) = \cos(\alpha)\):

\[ \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\cos(\alpha)} \]

Теперь можем выразить \(h\) через \(d\) и \(\alpha\):

\[ h = \frac{d \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Теперь мы можем подставить значение \(\cos(\alpha)\) из закона косинусов:

\[ h = \frac{d \cdot \sin(\alpha)}{\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(2ab\) и упростим выражение:

\[ h = \frac{2abd \cdot \sin(\alpha)}{a^2 + b^2 - c^2} \]

Теперь, мы можем использовать найденное значение \(h\) и уравнение \(h + d = c\) для решения задачи:

\[ \frac{2abd \cdot \sin(\alpha)}{a^2 + b^2 - c^2} + d = c \]

Подставим значения и решим уравнение:

\[ \frac{2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 24 \cdot \sin(\alpha)}{11^2 + 13^2 - 20^2} + 24 = 20 \]

Решив это уравнение, вы получите значение для \(h\), длины перпендикуляра, проведенного через вершину малейшего угла к плоскости треугольника.