Question

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части в отношении 5/3. Найти отношение отрезков, на которые делит гипотенузу высота, опущенная из вершины прямого угла.ЗАРАНЕЕ СПАСИБО

Answer 1

Возьмем треугольник abc, c-прямой угол
 Проведем биссектрису-ck, катеты ac/bc относятся друг к другу также как и поделенная гипотенуза 5:3, тогда и они относятся как 5/3
Высоту назовем AM
Тогда можно найти отрезки на которые поделит высота, проведенная из вершины прямого угла
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой
Тогда-AC=Корень из(AB*AM)
5=Корень из(8*AM)
Возведем обе стороны в квадрат
5^2=8*AM
25/8=AM

Теперь найдем BM
BC=корень из(AB*BM)
3=корень из(8*BM)
Возведем обе стороны в квадрат
3^2=8*BM
9=8*BM
BM=9/8

Отношение будет (25/8)/(9/8)
Сократим 25/8*8/9=200/72=100/36=25/9
Ответ=25/9

Answer 2

Давай разберемся. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC прямой угол. Пусть BD - биссектриса этого угла, и она делит гипотенузу AC на отрезки AD и DC.

Из условия задачи у нас есть, что отношение AD к DC равно 5/3. Обозначим AD как 5x и DC как 3x, где x - некоторый коэффициент.

Теперь рассмотрим высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу AC. Обозначим эту высоту как h.

Так как треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать подобие треугольников. Треугольники ABD и CBD подобны треугольнику ABC. Следовательно:

\[\frac{h}{AD} = \frac{h+DC}{BD}\]

Подставим значения AD и DC:

\[\frac{h}{5x} = \frac{h+3x}{BD}\]

Теперь найдем BD, используя тот факт, что BD - биссектриса прямого угла, и треугольники ABD и CBD подобны:

\[\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AD}\]

\[\frac{BD}{AB} = \frac{3x}{5x}\]

\[\frac{BD}{AB} = \frac{3}{5}\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить. Первое уравнение:

\[\frac{h}{5x} = \frac{h+3x}{BD}\]

Второе уравнение:

\[\frac{BD}{AB} = \frac{3}{5}\]

После решения системы уравнений найдем отношение отрезков, на которые делит гипотенузу высота, опущенная из вершины прямого угла.