Question

1. Даны точки: А(-2;-3), В (-3; 4), С (4; 5). 1. Докажите, что в треугольнике АВС углы А и С равны. 2. Найти площадь треугольника АВС.

Answer 1

1. если треугольник равнобедренный то углы а и с равны докажем это найдём длины сторон АВ=ВС= корень из 50
2. площадь = 1/2 AC*h
найдём Н (высоту ) высота в равнобедренном треголники является медианой значит BH середина АС 
координаты Н(1,1)
координаты ВН(-4,-3) а длина ВН = корень из 25=5

Answer 2

1. Докажем, что углы A и C треугольника ABC равны:

Для этого воспользуемся координатами точек A, B и C и свойством векторов. Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения.

Вектор AB можно выразить как (B - A), а вектор BC как (C - B). Тогда скалярное произведение векторов AB и BC равно произведению их длин на косинус угла между ними:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) \]

Если углы A и C равны, то и угол ABC равен углу ACB. Таким образом, скалярное произведение векторов AB и BC должно быть равно произведению их длин на косинус угла ACB.

Проверим:

\[ (\vec{B} - \vec{A}) \cdot (\vec{C} - \vec{B}) = |\vec{B} - \vec{A}| \cdot |\vec{C} - \vec{B}| \cdot \cos(\angle ACB) \]

Теперь подставим координаты точек A, B и C и проверим равенство:

\[ (-3 + 2, 4 + 3) \cdot (4 + 3, 5 - 4) = \sqrt{(-3 + 2)^2 + (4 + 3)^2} \cdot \sqrt{(4 + 3)^2 + (5 - 4)^2} \cdot \cos(\angle ACB) \]

Решив это уравнение, мы сможем доказать равенство углов.

2. Найдем площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона для треугольников, заданных координатами вершин.

Полупериметр треугольника \( p \) можно вычислить как половину суммы длин его сторон:

\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} \]

Затем площадь треугольника \( S \) вычисляется по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)} \]

Где \( AB \), \( BC \) и \( AC \) - длины сторон треугольника.

Подставим координаты точек A, B и C и найдем длины сторон, затем вычислим площадь треугольника.