Question

Сторона верхнего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды относится к стороне нижнего основания как 2:3, площадь полной поверхности пирамиды равна 92 см^2. найдите стороны оснований пирамиды, если апофема усеченной пирамиды в 3 раза меньше стороны большего основания.

Answer 1

Прикрепляю............................................

Answer 2

Пусть \( a \) и \( b \) - стороны верхнего и нижнего оснований соответственно, а \( h \) - высота усеченной пирамиды. Также пусть \( l \) - апофема пирамиды.

Условие "сторона верхнего основания относится к стороне нижнего основания как 2:3" можно записать следующим образом:

\[ \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \quad \text{(1)} \]

Также дано, что апофема усеченной пирамиды в 3 раза меньше стороны большего основания:

\[ l = \frac{b}{3} \quad \text{(2)} \]

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади верхнего основания, площади нижнего основания и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности можно выразить через боковую апофему \( s \) следующим образом:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot (a + b) \quad \text{(3)} \]

Площади верхнего и нижнего основания:

\[ S_{\text{верх}} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot a^2 \quad \text{(4)} \]

\[ S_{\text{низ}} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot b^2 \quad \text{(5)} \]

Площадь полной поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{верх}} + S_{\text{низ}} + S_{\text{бок}} \quad \text{(6)} \]

Теперь подставим (1), (2), (3), (4), (5) в (6) и решим получившееся уравнение:

\[ \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot a^2 + \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot b^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{3} \cdot \left(a + b\right) = 92 \quad \text{(6)} \]

Затем используйте (1) и (2), чтобы выразить \( a \) и \( b \), и решите систему уравнений.