Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА. Точка равноудалена от сторон прямоугольного треугольника с катетами 9 и 12 см и находится на расстоянии 4 см от плоскости треугольника. Найдите расстояние от данной точки до сторон треугольника.

Answer 1

Точка равноудалена от сторон прямоугольного треугольника, => эта точка проектируется в центр вписанной в треугольник окружности.
радиус вписанной в треугольник окружности: r=(a+b-c)/2
1. по теореме Пифагора:
c²=a²+b². a=9 см, b=12 см
c²=9²+12². c=15 см
r=(9+12-15)/2.  r=3 см

2. прямоугольный треугольник: 
катет - расстояние от точки до плоскости треугольника, а=4 см
катет - радиус вписанной в треугольник окружности, b=3 см
гипотенуза - расстояние от точки до сторон треугольника, с. найти
c²=3²+4²
c=5
ответ: расстояние от точки до сторон прямоугольного треугольника 5 см

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза.

Задано: AB = 9 см, BC = 12 см.

Расстояние от точки P до плоскости ABC равно 4 см.

Используем формулу для расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки P, а уравнение плоскости ABC имеет вид \(ax + by + cz + d = 0\).

Преобразуем уравнение плоскости ABC. Учитывая, что треугольник ABC находится в плоскости XY, то z = 0. Также, так как у нас прямоугольный треугольник, AB и BC параллельны осям координат, и их можно представить в виде отрезков AB: (0,0,0) - (9,0,0) и BC: (9,0,0) - (9,12,0).

Уравнение плоскости через три точки (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃) выглядит следующим образом:

\[a(x - x₁) + b(y - y₁) + c(z - z₁) = 0\]

Для точек (0,0,0), (9,0,0) и (9,12,0) получаем:

\[a(x - 0) + b(y - 0) + c(z - 0) = 0\] \[9a = 0 \implies a = 0\]

Таким образом, уравнение плоскости ABC имеет вид \(by + cz = 0\).

Теперь, используем формулу для расстояния от точки P до плоскости:

\[d = \frac{|by_0 + cz_0|}{\sqrt{b^2 + c^2}}\]

У нас y₀ = 0 (так как точка P лежит в плоскости XY), z₀ = 4, b = 12, c = 0:

\[d = \frac{|12 \cdot 0 + 0 \cdot 4|}{\sqrt{12^2 + 0^2}}\]

\[d = \frac{0}{12} = 0\]

Таким образом, расстояние от точки P до сторон треугольника равно 0.