Question

Решить задачу:Дан квадрат АВСД на отрезках АС и ВС взяты точки М и N не совпадающие с концами отрезков. Соответственно так,что МN = МД. Найдите величину угла МДN.Срочно пожалуйста

Answer 1

По условию  MN=MD, следовательно, треугольник MND равнобедренный, и  его высота   МО  является срединным перпендикуляром и его медианой. Если описать вокруг треугольника MND окружность, то, поскольку центр описанной окружности лежит на срединном перпендикуляре,   диаметр МК пересечет DN  по его середине  в точке О.
Отрезок ND - гипотенуза прямоугольного треугольника DNC, D и N лежат на окружности. О - середина гипотенузы, ⇒ ON - радиус описанной вокруг треугольников NCD и  MND  , а ND- диаметр этой описанной окружности. Вписанный угол DMN опирается на диаметр и равен половине центрального угла MOD, т.е. угол DMN=180º:2=90º . 
В равнобедренном прямоугольном треугольнике MDN  сумма острых углов при основании ND  равна 90º, эти углы  равны и каждый из них равен 90º:2=45º. При этом их значение не будет зависеть от того, где выбрана точка М. Главное условие - равенство МN и MD.
Ответ: величина угла МДN=45º

Answer 2

Для решения задачи, нам необходимо использовать свойство равнобедренного треугольника, а именно то, что биссектриса угла в вершине равнобедренного треугольника является высотой и медианой.

По условию задачи, отрезки AC и BC являются основаниями равнобедренного треугольника ABC, а точки M и N лежат на стороне AB. Также известно, что MN = MD.

Пусть угол ABC = α, тогда угол BAC = угол BCA = (180 - α) / 2 = 90 - α/2.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC = угол BCA, и, следовательно, угол BCA = 90 - α/2.

Также известно, что MN = MD. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса угла BCA является высотой и медианой, а значит, точка D является серединой отрезка MN. Тогда угол MDN = угол BDA.

Так как MD = MN, то треугольник MDN также является равнобедренным. А значит, угол MDN = угол MND.

Так как угол MDN = угол MND, то угол MДN = 180 - 2 * угол MND.

Но угол BCA = 90 - α/2, и угол BDA = 180 - угол BCA = 180 - (90 - α/2) = 90 + α/2.

Таким образом, угол MДN = 180 - 2 * (90 + α/2) = 180 - 180 - α = -α.

Ответ: Угол MДN равен -α.