Question

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О, основания BC и AD равны 3 и 4, а площадь равна 98. Найдите площадь треугольников АОВ.

Answer 1

По  известной теореме о трапеций треугольники $BOC \ AOD$ подобны . А треугольники $BOC \ COD$ имеют одну и туже площадь. 
Найдем высоту трапеций $S=\frac{3+4}{2}*h=98\\ h=28$ тогда если мы обозначим за $x$ высоту треугольника $BOC$   то из подобия    
 $\frac{3}{4}=\frac{x}{28-x}\\ 84-3x=4x\\ x=12$ то есть треугольник 
 $S_{BOC}=\frac{3*12}{2}=18\\ S_{AOD}=\frac{4*16}{2}=32$ 
 то площадь треугольника 
   

Answer 2

Пусть точка пересечения диагоналей трапеции ABCD обозначена как O. Также, пусть основания трапеции равны BC = 3 и AD = 4. Площадь трапеции равна 98.

Так как диагонали трапеции пересекаются в точке O, то мы можем разделить трапецию на два треугольника: AOB и COD.

Так как AOB и COD - это треугольники, их площади можно найти, используя формулу площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

Для треугольника AOB основание равно AO, а высота равна высоте трапеции (так как AO перпендикулярно BC). Для треугольника COD основание равно CO, а высота также равна высоте трапеции (так как CO перпендикулярно AD).

Для нахождения площади треугольника AOB нам нужно найти длину AO и высоту трапеции.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины AO. Так как ABCD - это трапеция, то ее боковые стороны параллельны. Это означает, что треугольники AOC и BOD являются подобными.

Таким образом, мы можем записать пропорцию:

AO/BO = CO/DO

Подставляем известные значения:

AO/BO = 3/4

Так как AO + BO = 7 (так как AO и BO - это диагонали трапеции), мы можем записать уравнение:

AO + (3/4)AO = 7

Решаем это уравнение:

(7/4)AO = 7

AO = (4/7) * 7

AO = 4

Таким образом, длина AO равна 4.

Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Мы знаем, что площадь трапеции равна 98, а основания равны 3 и 4. Используем формулу площади трапеции:

Площадь трапеции = (1/2) * (сумма оснований) * высота

98 = (1/2) * (3 + 4) * высота

98 = (1/2) * 7 * высота

98 = 3.5 * высота

высота = 98 / 3.5

высота ≈ 28

Таким образом, высота трапеции равна около 28.

Теперь мы можем найти площадь треугольника AOB, используя формулу площади треугольника:

Площадь треугольника AOB = (1/2) * AO * высота

Подставляем известные значения:

Площадь треугольника AOB = (1/2) * 4 * 28

Площадь треугольника AOB = 56

Таким образом, площадь треугольника AOB равна 56.