Question

На прямой последовательно отмечены точки A, B, C и D; AC=8 см . BD=6 см . BC=3 см . найдите AD

Answer 1

AD=AC+CD
CD=BD-BC
AD=AC+(BD-ВС)
AD=8+(6-3)=8+3=11 cм

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle ACB) \]

где \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(\angle ACB\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

В данном случае мы имеем треугольник ABC. Обозначим \(AC = a\), \(BC = b\), \(AB = c\). Тогда:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB) \]

Подставляем известные значения:

\[ 8^2 = c^2 + 3^2 - 2 \cdot c \cdot 3 \cdot \cos(\angle ACB) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 64 = c^2 + 9 - 6c \cdot \cos(\angle ACB) \]

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Обозначим \(BD = a\), \(BC = b\), \(CD = c\). Тогда:

\[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD) \]

Подставляем известные значения:

\[ 6^2 = 3^2 + c^2 - 2 \cdot 3 \cdot c \cdot \cos(\angle BCD) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 36 = 9 + c^2 - 6c \cdot \cos(\angle BCD) \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(c\) и \(\cos(\angle ACB)\)). Решим их систему.

\[ \begin{cases} 64 = c^2 + 9 - 6c \cdot \cos(\angle ACB) \\ 36 = 9 + c^2 - 6c \cdot \cos(\angle BCD) \end{cases} \]

Выразим \(\cos(\angle ACB)\) и \(\cos(\angle BCD)\) из уравнений:

\[ \cos(\angle ACB) = \frac{c^2 + 9 - 64}{6c} \]

\[ \cos(\angle BCD) = \frac{c^2 + 9 - 36}{6c} \]

Теперь найдем отношение этих двух выражений:

\[ \frac{\cos(\angle ACB)}{\cos(\angle BCD)} = \frac{\frac{c^2 + 9 - 64}{6c}}{\frac{c^2 + 9 - 36}{6c}} \]

Упростим и подставим известные значения:

\[ \frac{\cos(\angle ACB)}{\cos(\angle BCD)} = \frac{\frac{c^2 - 55}{6c}}{\frac{c^2 - 27}{6c}} \]

\[ \frac{\cos(\angle ACB)}{\cos(\angle BCD)} = \frac{c^2 - 55}{c^2 - 27} \]

Так как это отношение косинусов одного угла к другому, и косинусы соотносятся как обратные значения, мы можем записать:

\[ \frac{\cos(\angle ACB)}{\cos(\angle BCD)} = \frac{c^2 - 55}{c^2 - 27} = \frac{\cos(\angle BCD)}{\cos(\angle ACB)} \]

Теперь решим уравнение относительно \(c\):

\[ (c^2 - 55)^2 = (c^2 - 27)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ c^4 - 110c^2 + 3025 = c^4 - 54c^2 + 729 \]

Упростим:

\[ 56c^2 = 2296 \]

\[ c^2 = 41 \]

\[ c = \sqrt{41} \]

Теперь, когда мы знаем длину стороны \(AB = c\), мы можем использовать ее для нахождения длины \(AD\). Треугольник ACD - прямоугольный, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ AD^2 = AC^2 - CD^2 \]

\[ AD^2 = 8^2 - (\sqrt{41})^2 \]

\[ AD^2 = 64 - 41 \]

\[ AD^2 = 23 \]

\[ AD = \sqrt{23} \]

Таким образом, длина отрезка \(AD\) равна \(\sqrt{23}\) см.