Question

Докажите: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Answer 1

Пусть МN- средняя линия треугольника АВС. Треугольники ВМN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (угол В -общий, ВМ/BA= BN/BC=1/2) Поэтому угол ВМN равен углу BAC и MN/AC=1/2. Из равенства углов следует, что MN параллельна АС, а из второго равенства что MN=1/2 AC. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА;)

Answer 2

Для доказательства того, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны, мы можем использовать свойство средней линии треугольника.

Что такое средняя линия треугольника?

Средняя линия треугольника - это линия, соединяющая середины двух сторон треугольника. Таким образом, каждая сторона треугольника имеет свою среднюю линию.

Доказательство:

Для доказательства данного утверждения, мы рассмотрим треугольник ABC, где AB, BC и AC - его стороны, а M, N и P - середины сторон AB, BC и AC соответственно.

# Шаг 1: Доказательство параллельности

Для начала, докажем, что средняя линия MP параллельна стороне AB.

Мы знаем, что середины отрезков AB и AC соединены с вершиной треугольника C. По свойству средней линии треугольника, средняя линия MP параллельна стороне AC.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. По свойству средней линии треугольника, средняя линия MN также параллельна стороне AB.

Таким образом, мы имеем, что средняя линия MP параллельна стороне AC, а средняя линия MN параллельна стороне AB. Поскольку эти две средние линии пересекаются в точке M, мы можем заключить, что MP || AB.

# Шаг 2: Доказательство равенства

Теперь, чтобы доказать, что средняя линия MP равна половине стороны AB, нам нужно доказать, что длина отрезка MP равна половине длины стороны AB.

Мы знаем, что M - середина стороны AB. Аналогично, N - середина стороны BC, P - середина стороны AC. По определению середины, длины отрезков AM, BM, AN и BN равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник AMB. Мы знаем, что M - середина стороны AB. Поэтому отрезок AM равен отрезку BM.

Теперь рассмотрим треугольник MPB. Мы доказали в шаге 1, что MP || AB. Таким образом, треугольники MPB и AMB подобны.

По свойству подобных треугольников, отношение длин сторон подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон. То есть, отношение длины отрезка MP к длине отрезка AM равно отношению длины отрезка PB к длине отрезка BM.

Так как AM равно BM, то отношение MP к AM также равно отношению PB к BM. Из этого следует, что MP равно PB.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что P - середина стороны AC. Поэтому отрезок AP равен отрезку PC.

Так как MP равно PB, а AP равно PC, то отрезок MP также равен отрезку PC.

# Заключение:

Мы доказали, что средняя линия MP параллельна стороне AB и равна половине длины стороны AB. Аналогичные доказательства можно провести для других сторон треугольника.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.