Question

В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат AEKM так, что точка K лежит на гипотенузе, а E и M — на катетах. Сторона этого квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник ABC, как (2+корень из 2)/2. Найдите углы треугольника.Ответ в задаче: 45 градусов, 45 градусов, 90 градусов. Нужно полное решение. Спасибо.

Answer 1

Можно  решать  через подобие,но я напишу решение  через площадь,так  будет  по  красивее:Площадь  прямоугольного  треугольника  равна сумме  площади квадрата  и 2 прямоугольных  треугольников
1/2* ab=x^2 +1/2 x(a-x)  +1/2 x(b-x)
ab=2x^2-2x^2+x(a+b)
x=ab/(a+b)
Радиус окружности r=2s/P=ab/(a+b+c)
x/r=(a+b+c)/(a+b)=1+1/(a/c +b/c)=1+1/(cosa +sin a)=(2+ sqrt2)/2
cos a+sin a=sqrt(2)
cos^2 a +sin^2 a+sin2a=2
2sin2a=2
sin2a=1
a=45  b=90-45=45
Ответ:a=b=45