Question

после совмещения двух квадратов со стороной равной 1, один из них повернут относительно их общего центра симметрии на 45 градусов. Найдите площадь полученной фигуры.

Answer 1

Назовём квадраты АВСД и КЛМН, точка пересечения их диагоналей - т.О. Представим, что они расположены так, что при смещении на 45 градусов вершина К одного квадрата лежит ровно между вершинами А и В другого. Площадь полученной фигуры будет складываться из первоначального квадрата АВСД и 4-х выпирающих маленьких треугольников с вершинами К, Л, М и Н. 

Т.к. треугольники равные, достаточно рассмотреть один с вершиной К. Назовем точки пересечения КН, КМ и КЛ и  со стороной АВ как Ч,Ш и Щ.

Из треугольника КЛМ: КМ^2=КЛ^2+ЛМ^2=2, значит КМ=корень из 2.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ЧКЩ. Его высота КФ=(диагональ квадрата-сторона квадрата)/2=(корень из 2-1)/2.

Т.к. угол ЧКЩ=90 и делится диагональю КМ пополам, то угол ФКЩ=КЩФ=45, значит ФЩ=КФ, значит ЧЩ=2*ФЩ=2*КФ=2*(корень из 2-1)/2=корень из 2-1 

S(ЧКЩ)=КФ*ЧЩ/2=(корень из 2-1)/2 * корень из 2-1 * 1/2=(корень из 2 - 1)^2/4

Площадь полученной фигуры = 1*1+4*S(ЧКЩ)=1+(корень из 2-1)^2

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

В треугольнике угол при основании получается в 45 градусов, а высота треугольника равна половине разности диагонали повернутого треугольника и стороны.

т.е. (√2-1)/2.

окончательный ответ: 4-2√2