Question

В прямоугольнике АВСD точка К делит диагональ ВD в отношении 2:1, считая от вершины В. Точка Е – середина стороны СD. Используя метод координат, докажите, что точка К принадлежит отрезку АЕ и делит его в отношении 1:2.

Answer 1

РЕШЕНИЕ
сделаем построение по условию
AB = BC , так как ABCD -квадрат
Точка M делит сторону BC в отношении 1:2 -можно считать , 
что сторона ВС состоит из 3-х равных частей.
Точка E делит сторону AB в отношении 1:3 - можно считать , 
что сторона АВ состоит из 4-х равных частей.
Прямая CE пересекает стороны AM и MD треугольника AMD в точках К и L соответственно.
Дополнительное построение : 
обозначим точку М1 - середина отрезка MC , тогда BM=MM1=M1C
проведем через точки М, М1 прямые m, m1 параллельные прямой CE 
по теореме Фалеса :
параллельные прямые m,m1,CE отсекают на сторонах угла
пропорциональные отрезки
на стороне ВС : BM=MM1=M1C , значит на стороне BE тоже три равные части 
обозначим для простоты -x.
так как сторона АВ состоит из 4-х равных частей, то любая часть может быть 
представлена в виде 3х , тогда BE=3x, тогда ЕА=9х, тогда отношение 1 : 3 = 3х : 9х = 3 : 9
рассмотрим угол
снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE , снова 
пропорциональные отрезки на сторонах угла
MK : KA = 2x : 9x = 2 : 9 <-----это сторона АМ треугольника AMD
Дополнительное построение : 
проведем прямую DM до пересечения с прямой АВ - точка Р
проведем прямую DN параллельную прямой CE 
прямая DN отсекает на прямой АВ отрезок AN 
CE || DN , EN || CD
NECD - параллелограмм , так как противоположные стороны попарно параллельны
следовательно BE=AN , тогда BE : EN = 1 : 4
т. е. отрезок BN состоит из 5-и равных частей.
тогда BE=3x, тогда ЕN=12х, тогда отношение 1 : 4 = 3х : 12х = 3 : 12
рассмотрим угол
снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE,DN , снова 
пропорциональные отрезки на сторонах угла
ML : LD = 2x : 12x = 2 : 12 = 1 : 6 <-----это сторона МD треугольника AMD
ОТВЕТ
для стороны АМ отношение 2 : 9
для стороны МD отношение 1 : 6