Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС Дано: треугольник ABC, угол AOB=120 градусов, AB=20м, проведены два серединных перпендикуляра к сторонам AC и BC. Найти: OC

Answer 1

Дано: 

Δ АВС
∠ АОВ = 120°
АВ=20
АС и ВС - серединный перпендикуляр
___________
Найти: ОС

Решение:

ОС - радиус описанной окружности

Рассмотрим Δ АОВ

АО = ВО = СО - радиус

Значит, Δ АОВ - равнобедренный

Опустим высоту ОК на сторону АВ

ОK ⊥ АВ и является еще биссектрисой и медианой по свойству равнобедренного треугольника

Δ ВОК - прямоугольный

∠К = 90°
∠О = 120:2 = 60°
∠В = 180-90-60 = 30°

ВК = 20:2=10 
ОВ = х
ОК = х:2 (как сторона лежащая против угла в 30° равна половине гипотенузы)

По теореме Пифагора находим ОВ(помним, что ОВ=ОС=ОА):

$x^2=10^2+( \frac{x}{2} )^2\\\\ x^2=100+ \frac{x^2}{4}\\\\ x^2= \frac{400+x^2}{4}\\\\ 4x^2=400+x^2\\\\ 4x^2-x^2=400\\\\ 3x^2=400\\\\ x^2= \frac{400}{3}\\\\ x= \sqrt{ \frac{400}{3}} \\\\ x= \frac{20}{\sqrt3} \\\\ x= \frac{20\sqrt3}{3}$

Answer 2

Точка О - точка пересечения перпендикуляров - центр описанной окружности. Ос - радиус описанной окружности. Серединный перпендикуляр к стороне ВС делит её на два равных отрезка. Значит АВ=АС=20 см. И по чертежу АС=ВС=20 см. Значит треугольник равносторонний со стороной 20 см.
Радиус описанной окружности - а√3/3, где а сторона равностороннего треугольника. ОС=20√3/3 см.