Question

Дан квадрат АВСД и окружность, вписанная в него. Точка К принадлежит отрезку АВ, точка М принадлежит отрезку АС. Известно, что 3 АК=4 АМ=АВ . Докажите, что КМ-касательная к окружности. Я так понимаю, что тут надо доказать, что касательная перпендикулярна радиусу? Решите, пожалуйста.

Answer 1

Замечу что на рисунке перепутаны точки C и D, но всё равно решение ориентируется на рисунок. Пусть OP высота тругольника OKM, докажем что она равна r. Обзначим точку между A и B в которой окружность качается квадрата буквой L, а такую же точку между A и С буквой N. Пусть AB = 12x, тогда r=6x, AK=4x,

AM=3x, KM=5x(по теореме Пифагора). MN = AN - AM = r - AM = 3x. Аналагично KL=2x. OM = корень из(MN*MN + r*r) = 3 * (корень из 5) * х

OK = корень из(KL*KL + r*r) = 2 * (корень из 10) * х

Составим систему уравнений :

KP + PM = 5x

OK * OK - KP * KP = OM * OM - PM + PM = OP * OP

Подставим:

KP + PM = 5x

40x*x - KP*KP = 45x*x - PM * PM

PM * PM -  KP*KP = (PM - KP)(PM + KP) = (PM - KP)*5x=5x*x => PM - KP = x =>PM = 3x

OP*OP = OM * OM - PM * PM = 36x*x

OP = 6x

Т.к. выстота является радиусом ток сторона KM касательная.

Если что-то не понятно пиши...